matematikk.net

Hei, har slitt en del med oppgavene under kapittelet "periodiske" funksjoner, da særlig integrasjon av trigonometriske funksjoner (men også litt derivering). Håper noen kan hjelpe meg med disse:

Oppgave 1

Gitt funksjonen s(t)=3cos5t+4sin5t

a)Finn s''(t) (denne fikk jeg til. Fasit: -75cos5t-100sin5t)

b)Vis at s''(t) er proporsjonal med s(t).

Oppgave 2

a)Tegn grafen til y=x+sin for x-verdier mellom 0 og 4 [symbol:pi] på lommeregneren (dette fikk jeg selvsagt også til.. )

b)Bruk den deriverte til å vise at grafen ikke har noen topp- eller bunnpunkter.

Oppgave 3
Regn ut koordinatene til topp og bunnpunktene på grafen til y=e^-x * sin 2x når x er element i [0, 2 [symbol:pi] ]

Oppgave 4
Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til y=x sin x^2, x er et element i [0,2] og x-aksen. (fikk tilnærmet rett svar, men vet ikke om jeg løste oppgaven "proft" nok)

Oppgave 5
Grafen til y=e^-x * sin2x, x er element i [0,2] og x-aksen avgrenser et område over x-aksen. Regn ut arealet av dette området.

Oppgave 6
Hvor mye er grafen til g forskjøvet i forhold til grafen til f når:

f(x)=cos x og g(x)=sin(x+( [symbol:pi] /3))

Oppgave 7
Grafen til en harmonisk svingning har sitt første toppunkt til høyre for y-aksen i (2,3 , 7,1). Det første bunnpunktet har koordinatene (5,6 , 3,3).

Finn en funksjon av typen:

y=A sin (cx+ [symbol:tom] ) + d for grafen

(bruker [symbol:tom] for phi)

Oppgave 2

b)

[tex]f^\prime (x) = 1 + \cos{(x)}[/tex]

Siden f'(x) > 0 for alle [tex]x\in(0, 4\pi)[/tex], har funksjonen hverken topp eller bunnpunkter.

(at f'(x) > 0 eller f'(x) < 0 betyr at funksjonen er strengt voksende eller strengt avtagende. Slike funksjoner vil aldri ha topp/bunnpunkter, med mulig unntak i endepunktene. Men siden vi ser på alle punktene mellom 0 og 4[symbol:pi], og ikke i de faktiske punktene 0 og 4[symbol:pi] har vi ingen topp/bunnpunkter. )


Oppgave 3

[tex]y=e^{-x} \cdot sin(2x)[/tex] , [tex]x\in[0,2\pi][/tex]

[tex] y^\prime = -e^{-x}\sin{(2x)} + 2e^{-x}\cos{(2x)} [/tex]

De kritiske punktene er endepunktene 0 og 2, samt i punktet der y' = 0 .
(sistnevnte finner jeg ikke nøyaktig verdi for i øyeblikket, x=0,53473918)

Så må du sette opp en fortegenstabell og se i de kritiske punktene hvor den deriverte skifter fortegn. Du får prøve deg frem videre


Oppgave 4

Siden y > 0 for [tex] x\in[0, \sqrt\pi][/tex]

får vi uttrykket

[tex]A = \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin{(x^2)} \ dx[/tex]

= [tex]\frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} 2x \sin{(x^2)} \ dx[/tex]

Vi substutierer

[tex]u = x^2 \\ du = 2x \ dx[/tex]

[tex]\int_0^{\sqrt{\pi}} \sin{(u)} \ du[/tex]

Løser integralet

[tex]A = \frac{1}{2} [-\cos{(u)]_0^{\sqrt\pi}[/tex]

Setter inn for u

[tex]A = \frac{1}{2} [-\cos{(x^2)]_0^{\sqrt\pi}[/tex]

[tex]= -\frac{1}{2}\cos{({\sqrt\pi}^2)} + \frac{1}{2}\cos{(0)}[/tex]

= [tex]- \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1[/tex]


Resten av oppgavene for vente til en annen dag. Lykke til videre.

Takker for svar. håper likevel at noen kan hjelpe meg med de resterende oppgavene også... jeg har prøve på fredag og skulle helst klart å løse de før det...

Oppgave 5:

Hvis jeg har tolket denne rett:

[tex]A = \int_0^2 e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx[/tex]

Løser det ubestemte integralet:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot sin2xdx[/tex]

[tex]u^\prime = e^{-x} \ , \ u = -e^{-x} \ , \ v = sin2x v^\prime = 2cos2x[/tex]

Substitusjon:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -e^{-x}sin2x - \int -e^{-x} \ \cdot \ 2cos2xdx[/tex]

[tex]u_2^\prime = -e^{-x} \ , \ u_2 = e^{-x} \ , \ v_2 = 2cos2x \ , \ v_2^\prime = -4sin2x[/tex]

Ny substitusjon:

[tex]-e^{-x}sin2x - \large\left(e^{-x}2cos2x + 4\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx\large\right) = -e^{-x}sin2x -e^{-x}2cos2x - 4\int e^{-x}sin2xdx[/tex]

Da har vi to like integraler og multipliserer på begge sider:

[tex]5\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -e^{-x}sin2x - e^{-x}2cos2x[/tex]

Deler på 5:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -\frac 1 5 e^{-x}(sin2x + 2cos2x) + C[/tex]

Så er det bare å løse det bestemte integralet:

[tex]\int_0^2 e^{-x}sin2xdx = \large\left[-\frac 1 5 e^{-x}(sin2x + 2cos2x)\large\right]_0^2 \approx 0,456[/tex]

Til sistnevnte: svaret ditt stemte ikke med fasiten. Det er nok fordi oppgaven spør etter arealet AVGRENSET av x-aksen, og det er deler av grafen som er under x-aksen og som derfor ikke blir med i "regningen".. Men takk uansett...

Er det forresten noen som kan hjelpe med denne?

Finn integralet av: 4 (cos 3x)^2 * sin 3x

Jeg får at svaret blir: -4 (cos 3x)^3 + C, men i fasiten står det -4/9 istedenfor 4. Har jeg gjort feil, eller er det fasiten det er noe galt med? Håper på svar...

[tex]\int 4(\cos {3x})^2 \ \cdot \ \sin {3x}dx[/tex]

[tex]u = \cos {3x} \ , \ u^\prime = -3\sin {3x} \ , \ \frac {du} {dx} = -3\sin {3x} \ , \ dx = \frac {du} {-3\sin {3x}}[/tex]

[tex]\int 4u^2 \ \cdot \sin {3x} \ \cdot \ \frac {du} {-3\sin {3x}} = \int 4u^2 \ \cdot \ -\frac 13 du = -\frac 43\int u^2du = -\frac 43 \ \cdot \ \frac 13 \ \cdot u^3 + C[/tex]

[tex]\int 4(\cos {3x})^2 \ \cdot \ \sin {3x}dx = -\frac 49 (cos3x)^3 + C[/tex]

Oppgave 6

Du vet at cos(x) er komplimentær med sin(x). Dvs. cos(x)=sin(x+pi/2)

Nå har du omformulert cos til sin som gjør det lettere å sammenligne faseforskyvningen.

Da har vi funksjonene

f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)
og
g(x)=sin(x+pi/3)

Sammenligner så faseforskyvningene som egentlig er gitt ved teta/c, c=1 i dette tilfellet, (Dette er bare noe teknisk) har vi

pi/2-pi/3=pi/6

Vi ser at g er forskjøvet pi/6 til høyre for f.

ELLER

pi/3-pi/2=-pi/6

f er forskjøvet pi/6 til venstre for g.