Derivasjon og integrasjon av trigonometriske funksjoner

[Lord X]

Hei, har slitt en del med oppgavene under kapittelet "periodiske" funksjoner, da særlig integrasjon av trigonometriske funksjoner (men også litt derivering). Håper noen kan hjelpe meg med disse:

Oppgave 1

Gitt funksjonen s(t)=3cos5t+4sin5t

a)Finn s''(t) (denne fikk jeg til. Fasit: -75cos5t-100sin5t)

b)Vis at s''(t) er proporsjonal med s(t).

Oppgave 2

a)Tegn grafen til y=x+sin for x-verdier mellom 0 og 4 [symbol:pi] på lommeregneren (dette fikk jeg selvsagt også til.. )

b)Bruk den deriverte til å vise at grafen ikke har noen topp- eller bunnpunkter.

Oppgave 3
Regn ut koordinatene til topp og bunnpunktene på grafen til y=e^-x * sin 2x når x er element i [0, 2 [symbol:pi] ]

Oppgave 4
Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til y=x sin x^2, x er et element i [0,2] og x-aksen. (fikk tilnærmet rett svar, men vet ikke om jeg løste oppgaven "proft" nok)

Oppgave 5
Grafen til y=e^-x * sin2x, x er element i [0,2] og x-aksen avgrenser et område over x-aksen. Regn ut arealet av dette området.

Oppgave 6
Hvor mye er grafen til g forskjøvet i forhold til grafen til f når:

f(x)=cos x og g(x)=sin(x+( [symbol:pi] /3))

Oppgave 7
Grafen til en harmonisk svingning har sitt første toppunkt til høyre for y-aksen i (2,3 , 7,1). Det første bunnpunktet har koordinatene (5,6 , 3,3).

Finn en funksjon av typen:

y=A sin (cx+ [symbol:tom] ) + d for grafen

(bruker [symbol:tom] for phi)

[KjetilEn]

Oppgave 2

b)

[tex]f^\prime (x) = 1 + \cos{(x)}[/tex]

Siden f'(x) > 0 for alle [tex]x\in(0, 4\pi)[/tex], har funksjonen hverken topp eller bunnpunkter.

(at f'(x) > 0 eller f'(x) < 0 betyr at funksjonen er strengt voksende eller strengt avtagende. Slike funksjoner vil aldri ha topp/bunnpunkter, med mulig unntak i endepunktene. Men siden vi ser på alle punktene mellom 0 og 4[symbol:pi], og ikke i de faktiske punktene 0 og 4[symbol:pi] har vi ingen topp/bunnpunkter. )


Oppgave 3

[tex]y=e^{-x} \cdot sin(2x)[/tex] , [tex]x\in[0,2\pi][/tex]

[tex] y^\prime = -e^{-x}\sin{(2x)} + 2e^{-x}\cos{(2x)} [/tex]

De kritiske punktene er endepunktene 0 og 2, samt i punktet der y' = 0 .
(sistnevnte finner jeg ikke nøyaktig verdi for i øyeblikket, x=0,53473918)

Så må du sette opp en fortegenstabell og se i de kritiske punktene hvor den deriverte skifter fortegn. Du får prøve deg frem videre


Oppgave 4

Siden y > 0 for [tex] x\in[0, \sqrt\pi][/tex]

får vi uttrykket

[tex]A = \int_0^{\sqrt{\pi}} x \sin{(x^2)} \ dx[/tex]

= [tex]\frac{1}{2} \int_0^{\sqrt{\pi}} 2x \sin{(x^2)} \ dx[/tex]

Vi substutierer

[tex]u = x^2 \\ du = 2x \ dx[/tex]

[tex]\int_0^{\sqrt{\pi}} \sin{(u)} \ du[/tex]

Løser integralet

[tex]A = \frac{1}{2} [-\cos{(u)]_0^{\sqrt\pi}[/tex]

Setter inn for u

[tex]A = \frac{1}{2} [-\cos{(x^2)]_0^{\sqrt\pi}[/tex]

[tex]= -\frac{1}{2}\cos{({\sqrt\pi}^2)} + \frac{1}{2}\cos{(0)}[/tex]

= [tex]- \frac{1}{2} \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 1 = 1[/tex]


Resten av oppgavene for vente til en annen dag. Lykke til videre.

[Lord X]

Takker for svar. håper likevel at noen kan hjelpe meg med de resterende oppgavene også... jeg har prøve på fredag og skulle helst klart å løse de før det...

[zell]

Oppgave 5:

Hvis jeg har tolket denne rett:

[tex]A = \int_0^2 e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx[/tex]

Løser det ubestemte integralet:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot sin2xdx[/tex]

[tex]u^\prime = e^{-x} \ , \ u = -e^{-x} \ , \ v = sin2x v^\prime = 2cos2x[/tex]

Substitusjon:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -e^{-x}sin2x - \int -e^{-x} \ \cdot \ 2cos2xdx[/tex]

[tex]u_2^\prime = -e^{-x} \ , \ u_2 = e^{-x} \ , \ v_2 = 2cos2x \ , \ v_2^\prime = -4sin2x[/tex]

Ny substitusjon:

[tex]-e^{-x}sin2x - \large\left(e^{-x}2cos2x + 4\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx\large\right) = -e^{-x}sin2x -e^{-x}2cos2x - 4\int e^{-x}sin2xdx[/tex]

Da har vi to like integraler og multipliserer på begge sider:

[tex]5\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -e^{-x}sin2x - e^{-x}2cos2x[/tex]

Deler på 5:

[tex]\int e^{-x} \ \cdot \ sin2xdx = -\frac 1 5 e^{-x}(sin2x + 2cos2x) + C[/tex]

Så er det bare å løse det bestemte integralet:

[tex]\int_0^2 e^{-x}sin2xdx = \large\left[-\frac 1 5 e^{-x}(sin2x + 2cos2x)\large\right]_0^2 \approx 0,456[/tex]

[Lord X]

Til sistnevnte: svaret ditt stemte ikke med fasiten. Det er nok fordi oppgaven spør etter arealet AVGRENSET av x-aksen, og det er deler av grafen som er under x-aksen og som derfor ikke blir med i "regningen".. Men takk uansett...

Er det forresten noen som kan hjelpe med denne?

Finn integralet av: 4 (cos 3x)^2 * sin 3x

Jeg får at svaret blir: -4 (cos 3x)^3 + C, men i fasiten står det -4/9 istedenfor 4. Har jeg gjort feil, eller er det fasiten det er noe galt med? Håper på svar...

[zell]

[tex]\int 4(\cos {3x})^2 \ \cdot \ \sin {3x}dx[/tex]

[tex]u = \cos {3x} \ , \ u^\prime = -3\sin {3x} \ , \ \frac {du} {dx} = -3\sin {3x} \ , \ dx = \frac {du} {-3\sin {3x}}[/tex]

[tex]\int 4u^2 \ \cdot \sin {3x} \ \cdot \ \frac {du} {-3\sin {3x}} = \int 4u^2 \ \cdot \ -\frac 13 du = -\frac 43\int u^2du = -\frac 43 \ \cdot \ \frac 13 \ \cdot u^3 + C[/tex]

[tex]\int 4(\cos {3x})^2 \ \cdot \ \sin {3x}dx = -\frac 49 (cos3x)^3 + C[/tex]

[Asiater]

Oppgave 6

Du vet at cos(x) er komplimentær med sin(x). Dvs. cos(x)=sin(x+pi/2)

Nå har du omformulert cos til sin som gjør det lettere å sammenligne faseforskyvningen.

Da har vi funksjonene

f(x)=cos(x)=sin(x+pi/2)
og
g(x)=sin(x+pi/3)

Sammenligner så faseforskyvningene som egentlig er gitt ved teta/c, c=1 i dette tilfellet, (Dette er bare noe teknisk) har vi

pi/2-pi/3=pi/6

Vi ser at g er forskjøvet pi/6 til høyre for f.

ELLER

pi/3-pi/2=-pi/6

f er forskjøvet pi/6 til venstre for g.