matematikk.net

Heisann!

[symbol:integral][tex]\frac {lnx} {x}[/tex] dx
Finn integralet ved delvis integrasjon.

Har klart å løst oppgaven vha variabelskifte, og fikk da svaret [tex]\frac 12 (ln x)[/tex][sup]2[/sup] + C.

-----
Slik har jeg begynt på oppgaven:

[symbol:integral][tex]\frac {lnx} {x}[/tex] dx.

Setter v = lnx, da blir v'= [tex]\frac 1x[/tex]

Setter u'= x, da blir u = [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup]

[symbol:integral][tex]\frac {v} {u'}[/tex] dx = u * v - [symbol:integral] u * v'

= [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup] * ln x - [symbol:integral] [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup] * [tex]\frac 1x[/tex]

= [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup] * ln x - [tex]\frac 12[/tex] [symbol:integral] x

= [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup] * ln x - [tex]\frac 12[/tex] * [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup]

= [tex]\frac 12[/tex]x[sup]2[/sup] * ln x - [tex]\frac 14[/tex]x[sup]2[/sup]

-----
...og der står jeg fast.

Mornings,

Har ikke brukt lang tid på oppgava di, mulig jeg har oversett noe (evt. gjort feil). Men prøvde meg på delvis integrasjon på 2 ulike måter. Og dette stemmer ikke overens med fasit.

Kan hende det har med å gjøre at ln(x) og [tex]\;{1\over x}\;[/tex] er hverandres deriverte og antideriverte ? Og at disse kombinert, ikke kan integreres vha delvis integrasjon !

Sikkert noen av mattegutta her som kan svare på dette...

[symbol:integral] lnx/xdx = [symbol:integral] lnx*(1/x)dx = lnx*lnx- [symbol:integral] lnx*(1/x)dx = lnx*lnx- [symbol:integral] lnx/xdx
2 [symbol:integral] lnx/xdx = lnx*lnx
[symbol:integral] lnx/xdx = (1/2)lnx*lnx + C

Ble litt uryddig...

heisann wrote: 2 [symbol:integral] lnx/xdx = lnx*lnx

Hvor får du 2-tallet fra?

Standardavviker wrote:

heisann wrote: 2 [symbol:integral] lnx/xdx = lnx*lnx

Hvor får du 2-tallet fra?

[tex]\int {ln(x)\over x}dx=ln(x)ln(x)-\int{ln(x)\over x}dx[/tex]

legg merke til at integralet på høyre og venstre side er like, bare motsatt fortegn. Flytt over integralet fra høyre side over på venstre side (1+1=2);

[tex]2\int {ln(x)\over x}dx=(ln(x))^2[/tex]

(så deles på to i likningen)

[tex]\int {ln(x)\over x}dx={1\over 2}(ln(x))^2+C[/tex]

Da skjønner jeg! Takker!