matematikk.net

Denne er i grunnen grei. Det er bare å gå rett på.

[tex]I \qquad = \qquad \int 2x^3 \left( \sin(x)+\cos(x) \right) \rm{d}x \qquad = \qquad \Re \left( \int 2x^3(1-i)e^{ix} \rm{d}x \right)[/tex]

Vi tar for oss [tex]I ^\prime \qquad = \qquad \int x^3e^{ix} \rm{d}x[/tex] med tabellarisk delvis integrasjon.

[tex]\begin{tabular}{c c} \rm{derivert} & \rm{integrert}\\x^3 & e^{ix} \\ 3x^2 & -ie^{ix} \\ 6x & -e^{ix} \\6 & i e^{ix} \\ 0 & e^{ix} \end{tabular}[/tex]

Dermed:
[tex]I^\prime \qquad = \qquad \left( -ix^3 +3x^2 + 6ix - 6 \right)e^{ix} + C [/tex]

Og:

[tex]I \qquad = \qquad \Re \left( 2(1-i)(-ix^3 +3x^2 + 6ix - 6)e^{ix} \right) + C \\ = \qquad \Re \left( \left(-2x^3 +6x^2 + 12x -12 - (2x^3 + 6x^2 - 12x -12)i \right)e^{ix} \right) + C \\ = \qquad \left(-2x^3 +6x^2 + 12x -12 \right) \cos(x) + \left(2x^3 + 6x^2 - 12x -12 \right) \sin(x) + C[/tex]


Nytt integral:
[tex]I \qquad = \qquad\int \frac{xe^{x}}{(x+1)^2} \rm{d}x[/tex]

For et sinnsykt "tunga-rett-i-munnen"-integral

[tex]\int 2x^3(\sin{(x)} + \cos{(x)})\rm{d}x[/tex]

[tex]v = 2x^3 \ , \ v^, = 6x^2 \ , \ u^, = \sin{x} + \cos{x} u = -\cos{x} + \sin{x}[/tex]

[tex]I = 2x^3(\sin{x}-\cos{x}) - \int 6x^2(\sin{x}-\cos{x})\rm{d}x[/tex]

[tex]u^, = \sin{x} - \cos{x} \ , \ u = -\cos{x} - \sin{x} \ , \ v = 6x^2 \ , \ v^, = 12x[/tex]

[tex]I = 2x^3(\sin{x}-\cos{x}) - ((-\cos{x}-\sin{x})6x^2 - \int 12x(-\cos{x}-\sin{x})\rm{d}x)[/tex]

[tex]u^, = -\cos{x} - \sin{x} \ , \ u = -\sin{x} + \cos{x} \ , \ v = 12x \ , \ v^, = 12[/tex]

[tex]I = 2x^3(\sin{x}-\cos{x}) - ((-\cos{x}-\sin{x})6x^2 - (12x(-\sin{x}+\cos{x}) - 12\int -\sin{x} + \cos{x}\rm{d}x))[/tex]

[tex]I = 2x^3(\sin{x}-\cos{x}) - ((-\cos{x}-\sin{x})6x^2 - (12x(-\sin{x}+\cos{x}) - 12(\cos{x} + \sin{x})) + C[/tex]

[tex]I = 2x^3\sin{x} - 2x^3\cos{x} - (-6x^2\cos{x} - 6x^2\sin{x} - (-12x\sin{x} + 12x\cos{x} - 12\cos{x} - 12\sin{x})) + C[/tex]

[tex]I = 2x^3\sin{x} - 2x^3\cos{x} - (-6x^2\cos{x} - 6x^2\sin{x} + 12x\sin{x} - 12x\cos{x} + 12\cos{x} + 12\sin{x}) + C[/tex]

[tex]I = 2x^3\sin{x} - 2x^3\cos{x} + 6x^2\cos{x} + 6x^2\sin{x} - 12x\sin{x} + 12x\cos{x} - 12\cos{x} - 12\sin{x} + C[/tex]

[tex]I = \underline{\underline{2x^3\sin{x} + 6x^2\sin{x} - 12x\sin{x} - 12\sin{x} - 2x^3\cos{x} + 6x^2\cos{x} + 12x\cos{x} - 12\cos{x} + C}}[/tex]

Litt vakrere løsning du hadde daofeishi, hva gjør [tex]\Re[/tex]?

Ja, så effektiv ut metoden din dao. Men skjønte ikke helt jeg heller.
Du manipulerer vel med:

[tex]e^{\pm ix}=\cos(x)\,\pm \, i\sin(x)[/tex]

--------------------------------------------------------------------------------

Neste var grei, vha delvis integrasjon:

[tex]I=\int \frac{xe^x}{(x+1)^2}{\rm dx}=-\frac{xe^x}{x+1}\,+\,\int (\frac{xe^x+e^x}{x+1}){\rm dx}=\int e^x{\rm dx}\,-\,\frac{xe^x}{x+1}[/tex]

[tex]I=\frac{e^x(x+1)}{x+1}\,-\,\frac{xe^x}{x+1}\,+\,C=\frac{e^x}{x+1}\,+\,C[/tex]

Dersom du har et komplekst tall [tex]a + bi[/tex] (der i er [tex]\sqrt{-1}[/tex] og a,b er reelle) er [tex]\Re(a+bi)[/tex] den reelle delen av tallet. Altså: [tex]\Re(a + bi) = a[/tex]
Et resultat fra læren om de komplekse tallene er at [tex]e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)[/tex]. Dermed er [tex]\Re( e^{ix}) = \cos(x)[/tex]. Det jeg brukte over var at [tex]\Re \left( (1-i)e^{ix} \right) = \Re \left( (1-i)(\cos (x) + i \sin (x)) \right) = \Re (\cos (x) + sin (x) - i \cos (x) + i \sin (x)) = \sin(x) + \cos(x)[/tex] for å forenkle uttrykket litt.

Det jeg også kunne ha gjort var å bruke tabellarisk delvis integrasjon to ganger - en gang for hver trigonometrisk funksjon.

Kommer du med et nytt integral, Janhaa?

Du har også brukt at [tex]\int \Re [f(z)] {\rm d}z = \Re \left [ \int f(z) {\rm d}z \right \][/tex], noe som slett ikke er opplagt, men det kan vel bevises Men da må man først utvide definisjonen av integral til også å kunne gjelde komplekse integrander.

Jeg tenkte det var mye lettere å løse hvis man lot [tex]sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})[/tex], hehe. Men det er alltid gøy å holde på litt.

Daofeishi imponere stadig!

OK, nytt integral:

[tex]I\,=\,\int \frac{1\,+\,2\sqrt{x}}{x\,+\,x^2}{\rm dx}[/tex]

Det der var jo straight-forward

[tex]u = \sqrt{x}[/tex], [tex]{\rm d}x = 2u {\rm d}u[/tex]

[tex]I = \int \frac{(2u)(1 + 2u)}{u^2 + u^4} {\rm d}u[/tex]

[tex]I = \int \frac{2+4u}{u+u^3} {\rm d}u[/tex]

[tex]\frac{2+4u}{u+u^3} = \frac{2}{u} + \frac{4}{1+u^2} - \frac{2u}{1+u^2}[/tex]

[tex]I = 2 \ln|u| + 4\arctan(u) - \ln |1+u^2| + C[/tex]

[tex]I = \ln |x| + 4\arctan (\sqrt{x}) - \ln |x+1| + C[/tex]

Nytt integral kan noen andre få lov til å poste.

Hvordan går du frem her?

[tex]\frac{2+4u}{u+u^3} = \frac{2}{u} + \frac{4}{1+u^2} - \frac{2u}{1+u^2}[/tex]

delbrøksoppspaltning

nytt integral :

[tex] \int \frac{24dx}{x\sqrt{x^2 -16}}[/tex]

[tex]I = \int \frac{24dx}{x\sqrt{x^2 -16}}[/tex]

[tex]I = \int \frac{24}{x(x-4)} dx[/tex]

[tex]\frac{24}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4} [/tex]
Uten videre forklaring...

A = -6
B=6

[tex]I = \int (\frac{6}{x-4}-\frac{6}{x} )dx = 6ln(x-4)-6lnx+C[/tex]

Nytt integral:

[tex]I = \int \frac{5^x \cdot e^x \cdot sin(x)}{4} dx[/tex]

Jarle10 wrote:[tex]I = \int \frac{24dx}{x\sqrt{x^2 -16}}[/tex]

[tex]I = \int \frac{24}{x(x-4)} dx[/tex]

[tex]\frac{24}{x(x-4)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4} [/tex]
Uten videre forklaring...

A = -6
B=6

[tex]I = \int (\frac{6}{x-4}-\frac{6}{x} )dx = 6ln(x-4)-6lnx+C[/tex]

Nytt integral:

[tex]I = \int \frac{5^x \cdot e^x \cdot sin(x)}{4} dx[/tex]

[tex] \sqrt{x^2 - 16} = \sqrt{(x-4)(x+4)}[/tex]

tenkte du at det var?
[tex]\sqrt{(x-4)^2}[/tex]

[tex]I = \int \frac{5^x e^x sinx dx}{4} [/tex]
[tex]I = \int \frac{5^x xlne sinx dx}{ln4} [/tex]
[tex]I = \int \frac{x^2 ln5 sinx dx}{ln(ln4)} [/tex]
[tex]I =\frac{ln5}{ln(ln4)} \int x^2 sinx dx [/tex]

Delvis integrasjon: