matematikk.net

[tex]\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}= \frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}[/tex]osv ut i det uendelige.......Er det slik man går fram når n er det uendelige ?

For å finne summen av en uendelig rekke finnes det flere taktikker. Den vanligste (iallefall for meg) er å bryte av ved n'te delsum, se om jeg kan utrykke den summen på lukket form som en funksjon av n, og så gå til grensen.

Og ang om det er summen av alle tall mellom 0 og 1. Svaret er nei, du får jo f.eks, ikke med 1/3, 1/5 osv. Dessuten er antall tall mellom 0 og 1 såkallt ikke-tellbare i antall, så du kan ikke skrive de ved hjelp av en tellbar sum uansett.

Alt dette lærte jeg mye av! Jeg hiver meg på: hva vil det si at rekker konvergerer? Jeg søkte i databasen på konvergens, men jeg fant ingenting.

Tore Tangens wrote:I den første. Blir det summen av alle tall (R) mellom 1 og 0?

Nei, for å summe en funksjon over de talla må du vel teknisk sett integrere.

Konvergens er som espen sier, at de går mot en bestemt (endelig) verdi.

Cauchy wrote:For å finne summen av en uendelig rekke finnes det flere taktikker. Den vanligste (iallefall for meg) er å bryte av ved n'te delsum, se om jeg kan utrykke den summen på lukket form som en funksjon av n, og så gå til grensen.

Gode svar hittil, bukker og takker.

Men kan du gi et eksempel, hvordan går denne utledningen?

På den første bruker du selvfølgelig den lukkede formen for en geometrisk rekke, at [tex]S_n=a^0+a^1+a^2+...+a^{n-1}=\frac{a^n-1}{a-1}[/tex], og lar n gå mot uendelig.

Den andre kan dere få bevise.

Tenk deg at det finnes en funksjon f som er slik at

[tex]f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+ ...[/tex] som fortsetter slik i det uendelige. f(x) kan eventuelt skrives slik:
[tex]\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}[/tex], men konsentrer deg heller om den øverste.

1) Deriver [tex]f(x)[/tex] (ledd for ledd)
2) Hva kan du slutte om [tex]f^\prime(x)[/tex]? Uttrykk den ved [tex]f(x)[/tex].
3) Deriver [tex]g(x)=\ln{f(x)}[/tex] og bruk uttrykket over til å finne hva den deriverte av [tex]g(x)[/tex] er lik.
4) Bruk likningen du får med [tex]g^\prime(x)[/tex] på den ene siden, og integrer med henhold på x på begge sider. Husk den tilfeldige konstanten C.
5) Løs for [tex]f(x)[/tex], du får en generell løsning, men du kan finne den virkelige med å bruke at [tex]f(0)=1[/tex]
6) Finn [tex]f(1)[/tex] på rekkeform ved å bruke definisjonen øverst.
7) Finn [tex]f(1)[/tex] ved å bruke den nye formen du fant i 5).