Derivasjon av en kvotient

[Wentworth]

Jeg forstår den.

[Wentworth]

[tex]\frac{\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt {x}} \cdot (x+1) -2(\sqrt {x} \cdot \sqrt{x})}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

Trenger jeg å gange med [tex]2\sqrt{x}[/tex] med andre ledd i telleren?

[Markonan]

Ja, men det har jeg allerede gjort for deg.

[Wentworth]

[tex]\frac{\frac{3x}{2\sqrt{x}}+2x+1-4x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

På riktig vei?

[Markonan]

Hmmm. Nei.

Kanskje det er enklere om vi stykker det opp litt.
Glem hele oppgaven et øyeblikk, og bare løs disse to:
1) [tex]\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}[/tex]

2) [tex]\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}[/tex]

[Wentworth]

1) [tex]\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}=\frac{2x}{2x}=x[/tex]eller er det [tex]\sqrt{x}[/tex]

2) [tex]\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x \cdot x=x^2[/tex]og dette er [tex]2\sqrt{x}[/tex]

[Markonan]

Ok, her fant vi noen problemer. Her skal du få noen hint:

Det er viktig at du forstår at [tex]\sqrt{x} \not= x[/tex]!
De er altså ikke like hverandre (med mindre x = 1). Når du ikke vet hva x er, kan du derfor ikke anta at de er like.

1) Det er akkurat det samme som står over brøken som står under. Hva er et tall delt på seg selv?

2) Husk at [tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}[/tex] <- dette vet du.

[tex]sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}[/tex]

og regelen du bruker er:
[tex]x^m \cdot x^n = x^{m+n}[/tex]

[Wentworth]

Skjønner.

Blir det neste trinnet slik ;

[tex]\frac{1\cdot (x+1)-2(x)}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

[tex]\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

[tex]\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2[/tex]

[Markonan]

Det siste leddet i telleren ble riktig, og da har du 2(x) = 2x enkelt og greit.

Men brøken delte du ikke riktig (selv om du gjorde det tidligere).
[tex]\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = ?[/tex]

Del denne riktig, så er oppgaven ferdig...

[Wentworth]

Det blir 1

[Markonan]

Ja, det er riktig.

[tex]\frac{1 \cdot (x+1)-2(x)}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

Ganger inn 1'eren og -2'eren og får:
[tex]\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

Da skal man ikke gå så langt før man kommer til fasitsvaret.

[Wentworth]

[tex]\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}[/tex]

[tex]\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2[/tex]

Hvorfor 1-x og ikke x-1, er det fordi x slår seg sammen med -2x over på høyre siden i telleren? Dermed er 1 først i telleren...stemmer?

[Markonan]

*Applaus*

Jepp det stemmer.
x+1-2x = 1+(x-2x) = 1-x

Men dette er også nøyaktig det samme som
-x+1
Det har mao. ikke noe å si hvilken rekkefølge man skriver det i.

[Wentworth]

Tusen takk for hjelpen Markonan . Nå genstår det bare å tenke gjennom hvordan rekkefølgen var.

[Markonan]

Skriv hele utregningen her. Prøv og ikke se gjennom det som ble gjort tidligere, nå skal du egentlig kunne klare det helt selv.