Lost in Integration

[Justin Sane]

Sliter litt med en oppgave om volumet til et omdreiningslegemet (skrujern-skaft, oppgave 805 i oppgavesamlinga 3mx, for de litt som er litt gjerrige på nysinga si. (nysgjerrige... .... ørken))

Integranden er: [tex]\pi \int\limits_0^6 {(\sqrt x } \cdot e^{ - \frac{x}{3}} )^2 dx[/tex]

Burde jeg opphøye i andre med engang for enkelhetens skyld, eller sette det som [tex](u)^2 dx[/tex] og integrere u? Jeg er fryktelig ustødig på å tolke hva som er best og enklest, og mest av alt hva som kommer til å gi riktig svar. (Er privatist, alene i matteverdenen)

Uansett kom jeg fram til at [tex](u)^2 = (x \cdot e^{ - \frac{{2x}}{3}} )[/tex].

Riktig så langt?


Men det er når at integreringa skal skje at alt faller fra hverandre. Vanligvis ville jeg konsultert fasiten og fått et blikk av det ubestemte integralet skal, bli og derifra ense hvordan de har gått fram. Men når det er bestemte integraler blir det litt verre.

integrerte med:
[tex]u^, = e^{\frac{{ - 2x}}{3}}[/tex]

[tex]u = - \frac{3}{2}e^{ - \frac{{2x}}{3}}[/tex]

[tex]v = x \\[/tex]

[tex]v^, = 1 \\[/tex]

(virka som deriveringstegnet fikk uttrykket til å forsvinne... brukte standard u' = ....)

anyhoo, endte jeg opp med et litt snuskete resultat:

[tex]\pi \left[ { - \frac{3}{2}e^{ - \frac{{2x}}{3}} \cdot x - \frac{9}{4}e^{ - \frac{{2x}}{3}} } \right]_0^6[/tex]


antar at dette verken vil jeg meg et positivt svar, matematisk sett og generelt sett.

Derfor spør jeg nå etter hjelp: Hjelp?

[Markonan]

God kveld.

Det er alt for sent, og jeg er alt for trøtt, til å sette meg inn i denne oppgaven nå... lurer faktisk litt på hvorfor jeg i det hele tatt måtte sjekke forumet på denne tiden av døgnet.

Men, jeg sjekket det ubestemte integralet på Wolframs Online Integrator.
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=((x^(1%2F2)*exp(-x%2F3))^2&random=false

Så vidt jeg kan se er integrasjonen din fullstendig korrekt!

Edit. Forumet likte ikke helt parentesen i lenken min. Kopier hele lenken, eller gå på integratoren selv og lim inn:
((x^(1/2)*exp(-x/3))^2

[Stone]

Stemmer som Markonan sier, at integralet ditt er korrekt.
Du sier du antar at dette ikke gir noe positivt svar.. Men hva med å bare teste? Da oppdager du fort at det faktisk gir et positivt svar

[Justin Sane]

suksess!

tusen takk for at du fant det ut, og at du viste meg et nytt leketøy!
Jeg testa det ut men fikk negativt svar, men ble riktig når jeg var ekstra pirkete på kalkulatoren. Og for de som fremdeles ikke vil nyse på andre, er volumet av skaftet: [tex]6,421cm^3[/tex]

[Markonan]

Godt jobbet! Ganske ekkelt integral du startet med.

Et helt perfekt svar ville vel vært noe sånt som
[tex]\Big(\frac{9\text{e}^4 - 45}{4\text{e}^4}\Big)\pi[/tex]
men det er veeeldig pirkete.

(virka som deriveringstegnet fikk uttrykket til å forsvinne... brukte standard u' = ....)

Skal du bruke derivasjonstegnet i Tex, er det med kommandoen \prime.
Selv bruker jeg {\tiny\prime}. Slik:
g^{\tiny\prime}(x) = 5 -> [tex]g^{\tiny\prime}(x) = 5[/tex]

[meCarnival]

eller det er også mulig og opphøye i komma


f^,(x) = [tex]f^,(x)[/tex]