Konvergens sum og grenser...

[meCarnival]

Ok...

Vet ikke helt men du setter [tex]r = a_{n+1} \approx a_n \Rightarrow r = 3-\frac{1}{r}[/tex]

Da tenker jeg, samme metode som jeg gjorde i 1a:

[tex]\lim_{r\to\infty}r=\lim_{r\to\infty} 3-\frac{1}{r}=\lim_{r\to\infty} 3-\lim_{r\to\infty}\frac{1}{r}=3-0=3[/tex]

Svar: [tex]\frac{3+\sqrt{5}}{2}[/tex]


1a:

[Camlon1]

1.
Er summen [tex] \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3n-1}[/tex] konvergent? - Svaret skal begrunnes

[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{3n-1}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1+\frac{1}{n}}{3-\frac{1}{n}} = \frac{1}{3} [/tex]

Ergo, rekken konvergerer til 1/3 og dermed er summen divergent fordi den øker med minst 1/3 for hver eneste ledd. Dermed kan den ikke være bounded.

[meCarnival]

...

[Gustav]

Ok...

Vet ikke helt men du setter [tex]r = a_{n+1} \approx a_n \Rightarrow r = 3-\frac{1}{r}[/tex]

Litt interessant dette. Mulig man kan bruke Banachs fikspunktteorem på et lukket underrom av det komplette metriske rommet R med standardmetrikken d(x,y)=|x-y|.

Definer [tex]Tx=3-\frac{1}{x}[/tex] for x>=1. Da vil dette være en kontraksjonsavbildning med et unikt fikspunkt gitt ved

[tex]Tx*=x*[/tex]

[meCarnival]

Hehe, begynte med rekker i natt og kommet litt på vei, men føler det der var litt vel langt frem for meg, vet ikke om det var pensum, ellers gruer jeg meg til å lese på akkurat det der =P.. Virket hvertfall vanskelig...

Men jeg har jo tydeligvis feil tankegang med r'n her som jeg bare tok å fant grensen til...

[Gustav]

Hehe, begynte med rekker i natt og kommet litt på vei, men føler det der var litt vel langt frem for meg, vet ikke om det var pensum, ellers gruer jeg meg til å lese på akkurat det der =P.. Virket hvertfall vanskelig...

Men jeg har jo tydeligvis feil tankegang med r'n her som jeg bare tok å fant grensen til...

Det jeg skrev over var vel bare et forsøk på å bevise at metoden som Markonan foreslo faktisk gir et unikt svar, og det er helt unødvendig i forhold til oppgaven så du kan trygt glemme det.

Du trenger ikke ta grensen. Bare finn r fra den andregradsligninga.

[Gommle]

Beklager den litt flaue feilen i grenseregningen min

Ser ut som jeg forvirret tråden litt.

[meCarnival]

Jaok... Hvordan oppnår du en andregradligning...? Jeg forstår sånn at han bytter ut r med [tex]a_n[/tex] som er tilnærmet [tex]a_{n+1}[/tex]?

[Markonan]

Du henger deg litt for mye opp i at det er ledd i en følge. Du skal bare frem til et tall denne gangen (som er grensen!).

[tex]r = 3 - \frac{1}{r}[/tex]

[tex]r^2 = 3r - 1[/tex]

You see?

[Gustav]

Jaok... Hvordan oppnår du en andregradligning...? Jeg forstår sånn at han bytter ut r med [tex]a_n[/tex] som er tilnærmet [tex]a_{n+1}[/tex]?

Bruk bare

[tex]r=3-\frac{1}{r} \\ \Rightarrow r^2=3r-1[/tex]

[meCarnival]

Beklager den litt flaue feilen i grenseregningen min

Ser ut som jeg forvirret tråden litt.

Neida, det er bare jeg som synes dette er meget vrient å skjønne tydeligvis...


Det er helt korrekt, Markonan!
Jeg henger meg opp i en ting så sliter jeg med å slippe det... Men det kan være fordi jeg tror jeg er på riktig vei men egentlig ikke...


Setter bare inn en variabel som er lik [tex]a_n[/tex] og [tex]a_{n+1}[/tex] siden [tex]a_n \approx a_{n+1}[/tex]
Hvis det er sånn så skjønner jeg hvordan dere gjør det, foreløpig... eller er det en annen tankegang bak hvorfor dere setter [tex]r[/tex] inn for [tex]a_n[/tex] og [tex]a_{n+1}[/tex]

[FredrikM]

En gang for alle:

Siden du blir oppgitt at {a_n} konvergerer, og at formelen er
[tex]a_n=3-\frac{1}{a_{n-1}}[/tex]

La oss si rekken konvergerer mot et punkt a. Tar vi grensene mot uendelig på begge sider, får vi:

[tex]a = 3-\frac{1}{a} \Rightarrow a^2-3a+1=0[/tex]

[meCarnival]

Ok, begynner å komme opp et lys her nå tror jeg... Ikke noe glad i rekker så takker for alle svar .. ble jo fort en post som tok av gitt...


Men sånn jeg forstår det da...

[tex]a_n=3-\frac{1}{a_{n-1}}[/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}3-\frac{1}{a_{n-1}}[/tex]

Som gir meg et punkt a, ute i de uendelige...

[tex]a=3-\frac{1}{a}[/tex]

[tex]a^2=3a-1[/tex]

[tex]a^2-3a+1=0[/tex]

[tex]a_1 = \frac{-\(\sqrt{5}-3\)}{2}[/tex]

[tex]a_2 = \frac{(\sqrt{5}+3}{2}[/tex]

et spørsmål kom vel opp når jeg kladdet dette ned, hvorfro forkastet [tex]a_1[/tex]?

[Markonan]

Følgen du har er monoton (dvs stigende), som impliserer at grensen du skal frem til må være større enn 1.
[tex]a_1 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0.38196[/tex]

[tex]a_2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2.61803[/tex]

[meCarnival]

Jaok, det som boka omtaler som "increasing", altså vokser for alle [tex]n\geq 1[/tex] for [tex]a_{n+1} > a_n[/tex]

[tex]3-\frac{1}{a_n} > 3-\frac{1}{a_{n-1}} \,\,\, n\geq1[/tex]