Nytt Induksjonsbevis

[Thor-André]

Oppgave:

Vis ved induksjon at

[tex]4^n-1[/tex]

er delelig med 3 for alle hele tall [tex]n \ge 1 [/tex]

Min besvarelse:

Skal vise at:

[tex]\frac{4^n-1}{3} = a, a \in \mathbb{N}[/tex]

Trinn 1:
Skal vise at formelen stemmer for er rett for [tex]n=1[/tex]

[tex]\frac{4^1-1}{3} = \frac{3}{3} = 1, \in \mathbb{N}[/tex]

Formelen er rett for [tex] n = 1 [/tex]

Trinn 2:
Antar at formelen stemmer for [tex]n=k[/tex], altså:

[tex]\frac{4^k-1}{3} = a, \ a \in \mathbb{N}[/tex]

Skal så vise at formelen også stemmer for [tex]n=k+1[/tex]

[tex]\frac{4^{k+1}-1}{3}=b, \ b \in \mathbb{N} \\ b = \frac{4^k\cdot4^1 -1}{3} \\ b = \frac{4\cdot4^k-1}{3} \\ b = \frac{4(4^k-1)+3}{3} \\ b = 4\cdot \frac{4^k-1}{3} + \frac{3}{3} \\ b = 4a +1 [/tex]


Siden [tex]a[/tex] er et heltall, må også [tex]b[/tex] være det!
Formelen stemmer da også for [tex]n=k+1[/tex]

Formelen [tex]\frac{4^n-1}{3} = a, \ a \in \mathbb{N}[/tex] er derfor riktig for alle heltallige [tex] n \ge 1[/tex]

Er dette beviset riktig?

[FredrikM]

Ser riktig ut dette.

Skal så vise at formelen også stemmer for

Litt småpirk, men det du skal vise er at antagelsen din (at det stemmer for n=k) medfører at det også stemmer for n=k+1. Siden det stemmer for n=1, må det da stemme for alle heltall. Men det er bare pirk.

[Thor-André]

Aha, jeg skjønner!
Takk for korreksjonen!