VGS: Irrasjonal ligning

[BMB]

Litt vanskeligere enn de rett-fram-oppgavene som står i vgs-bøker.

Løs ligningen

[tex]\sqrt{x^2-5x+4}-\sqrt{x^2-10x+9}=x-1[/tex]

[moth]

[tex]\sqrt{x^2-5x+4}-\sqrt{x^2-10x+9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}-\sqrt{x-1}\sqrt{x-9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}=\sqrt{x-1}[/tex]

[tex](\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2=x-1[/tex]

[tex]2\sqrt{x-4}\sqrt{x-9}=x-12[/tex]

[tex]4(x-4)(x-9)=(x-12)^2[/tex]

[tex]3x^2-28x=0[/tex]

[tex]x(3x-28)=0[/tex]

Men jeg fikk ikke det helt til å stemme. Kan du se hva jeg har gjort feil?

[Zivert]

Hvis x=1 kan du ikke dele på [tex]\,\sqrt{x-1}\,[/tex]. Ellers tror jeg det stemmer.

[moth]

Aha, takk skal du ha. Jeg synest det var litt rart at det ble imaginære tall i all røttene i linje 2 når jeg satte inn de riktige verdiene
Men då blir vel kanskje det jeg har gjort etter det feil og, eller har jeg bare mistet en løsning?

[moth]

Hehe, tror jeg rotet litt isted. Skjønte ikke før no at hvis x=1 så blir roten av x-1 = 0 så derfor kan jeg selvfølgelig ikke dele med det
Men når x=0 så går det fint derfor fikk jeg den løsningen? Skulle gjerne sett hvordan man løser denne skikkelig.

[zell]

En rask en:

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}) = x-1[/tex]

[tex](x-1)(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2 = (x-1)^2[/tex]

[tex](x-1)[(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})^2 - x + 1] = 0[/tex]

[tex](x-1)(x-4 - 2\sqrt{(x-4)(x-9)} + x - 9 - x + 1) = 0[/tex]

[tex](x-1)(x-12 - 2\sqrt{(x-4)(x-9)}) = 0[/tex]

Gir:

[tex]x = 1 \ \vee \ x-12-2\sqrt{(x-4)(x-9)} = 0[/tex]

[tex]x-12 = 2\sqrt{(x-4)(x-9)}[/tex]

[tex]x^2 - 24x + 144 = 4x^2 -52x + 144[/tex]

[tex]3x^2 - 28x = 0 \ \Rightarrow \ x(3x-28) = 0[/tex]

Gir:

[tex]x = 1 \ \vee \ x = 0 \ \vee \ x = \frac{28}{3}[/tex]

Test av løsninger gir at: [tex]x = \frac{28}{3}[/tex] er ugyldig løsning.

Altså er løsningene:

[tex]x = 1 \ \vee x = 0[/tex]

[BMB]

Ja, når x=0 går det fint, og derfor fikk du den løsningen. Men uansett er det liten vits i å dele vekk faktorer her. Faktoriser dem heller ut slik

[tex]\sqrt{x-1}\sqrt{x-4}-\sqrt{x-1}\sqrt{x-9}=x-1[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9})=\sqrt{(x-1)^2}[/tex]

[tex]\sqrt{x-1}(\sqrt{x-4}-\sqrt{x-9}-\sqrt{x-1})=0[/tex]

Et produkt er 0 hvis og bare hvis en av faktorene er det. Så istedenfor å dele, er det bedre å faktorisere så du ikke gjør slike feil. Når x=1 er den første faktoren 0, så x=1 er en løsning. De andre løsningene kommer når den andre faktoren er 0.

Husk dessuten at når du kvadrerer en ligning står du i fare for å ende opp med en løsning som ikke tilfredstiller den opprinnelige ligningen. Det er fordi både a og (-a) kvadrert gir a^2. Det er derfor du må sette prøve på svarene.

Svaret på oppgaven er x=0 og x=1.

EDIT: Så først nå at Zell hadde løst oppgaven på en fin, oversiktlig måte.

[BMB]

Her er enda en (glemt hvordan man får n-terottegn i tex):

[tex](60-x)^{\frac{1}{3}}+(x-11)^{\frac{1}{3}}=4^{\frac{1}{3}}[/tex]

[moth]

Jeg skjønner, takk for tipsene.

n-terot er forresten \sqrt[n]{a}