Induksjonsbevis

[Thor-André]

Vis ved induksjon at

[tex] n^3 - 4n + 6[/tex]

er delelig med 3 for alle naturlige tall [tex] n \ge 0 [/tex]

Dette har jeg gjort:

Skal vise at:

[tex] \frac{n^3-4n+6}{3} = a, \ a \in N [/tex]

Trinn 1: Viser at formelen er riktig for [tex] n=1 [/tex]

[tex] \frac{1^3-4\cdot1 + 6}{3} \\ \frac{3}{3} = 1, \ \in N [/tex]

Formelen er altså rett for [tex] n=1[/tex]

Trinn 2: Antar at formelen er rett for [tex]n=k[/tex], altså at:

[tex]\frac{k^3-4k+6}{3} = a, \ a \in N [/tex]

Må vise at formelen også er rett for [tex]n=k+1[/tex], altså at:

[tex]\frac{(k+1)^3-4(k+1)+6}{3} = b, \ b \in N [/tex]


og DER stopper det, klarer ikke å omforme den slik at jeg kan bevise formelen! Noen som kan hjelpe eller?

[mrcreosote]

Ser fint ut foreløpig. Nå bør du bruke det du allerede veit, nemlig at (k^3-4k+6)/3=a er et heltall. Hvis du ekspanderer uttrykket som du har kalt b, finner du igjen a, og kan finne en c så b=a+c. Du veit at a er et heltall, så hvis du kan vise at c er et heltall, må også b være det. (Hvorfor?)

[Thor-André]

Okei, jeg tror jeg skjønner tankegangen din

Da blir det videre:

[tex] \frac{k^3+3k^2+3k+1-4k-1+6}{3} \\ = \frac{(k^3-4k+6)+(3k^2+3k+1-1)}{3} \\ = \frac{k^3-4k+6}{3} + \frac{3k^2+3k}{3} \\ = a + \frac {3k(k+1)}{3} \\ = a + k(k+1) [/tex]

Siden [tex] b = a + k(k+1) [/tex], og [tex]k[/tex] er et heltall, er også [tex]b[/tex] et heltall.

Formelen er derfor også riktig for [tex]n = k +1 [/tex]

Formelen [tex]\frac{n^3-4n+6}{3} = a, \ a \in N [/tex] er derfor riktig for alle heltallige [tex] n \ge 0 [/tex]

Er dette riktig?

[mrcreosote]

Det er bra. (Du sier til slutt at det stemmer for n=0 også, men du starta induksjonen ved n=1, men dette er pirk.)

[Thor-André]

Aha, så hvis jeg hadde startet induksjonen med n=0 istedenfor n=1, så hadde beviset vært 100 % korrekt?

[Markonan]

Evt. bare sagt at det gjaldt for alle n > 0.

[Thor-André]

Det hadde også vært en mulighet ja, men da hadde jeg ikke svart helt på oppgaven!

Men mange takk for hjelpen!

[Markonan]

Ah, så ikke ordentlig på oppgaveteksten.

Forresten, hvis du vil ha de tegnene som vanligvis brukes for de forskjellige tallmengdene, bruker du koden \mathbb{R} i tex. F.eks
[tex]\mathbb{N} \quad \mathbb{Q} \quad \mathbb{R}[/tex]