[symbol:integral] (lnx /x) dx

[Tore Tangens]

Hei. Kan noen gi meg et hint på hvilken vei jeg kan gå for å komme frem med denne oppgaven?
Har nylig begynt med integralregning og har ikke utviklet blikket for tingene så mye.
Har prøvd med substitusjon, delvis integrasjon og litt varianter men uten hell.

[symbol:integral] (lnx /x) dx sikkert ikke rare greiene kanskje?

[Vektormannen]

Prøv delvis med u' = 1/x. Da får du [tex]\int \frac{\ln x}{x} dx = (\ln x)^2 - \int \ln x \cdot \frac{1}{x} dx[/tex]. Ser du hva du kan gjøre da?

edit: tok bort at det går greit med u' = 1/x. Var litt korttenkt der :p

[espen180]

Jeg foreslår heller å bruke variabelskifte her. Sett [tex]\ln(x)=u[/tex] så blir [tex]\frac1x \rm{d}x=\rm{d}u[/tex]

[Vektormannen]

Er vel kjappeste vei i mål det ja.

[Tore Tangens]

Takker for alle svar!
Nå gikk det jo ufordragerlig lett.

u = ln(x)
u' = 1/x
dx = du·x
[symbol:integral] (u/x)du·x = [symbol:integral] u du = ½(ln x)²+C
Det stemmer med fasiten.

Er det noen som har noen gode vebsider som går spesifikt ut på å gi en intuitiv forståelse og grunnleggende innsikt i hva som egentlig foregår når man benytter
du/dx = u' Jeg klarer å bruke det noenlunde men det er første gang jeg ikke forstår helt hva som "foregår under panseret" på teknikken, og det er urovekkende, antitilfredstillende og småskandaløst.

[espen180]

http://math.feld.cvut.cz/mt/txtd/3/txe3db3.htm

[Markonan]

Jeg anbefaler, som alltid, lenken jeg har i signaturen min. Der er det masse eksempler på de tre store integrasjonsteknikkene. Var der jeg lærte substitusjon, delvis integrasjon og delbrøkoppspalting.

[Tore Tangens]

Ser ut som nyttige sider dere har der. Etter litt lesing ser jeg jo at grunnen til at jeg ikke kan redgjøre for substitusjon ved integrasjon to the bone, er kanskje at R1-kurset ikke forklarer eller beviser grunnen til at kjerneregelen ved substitusjon er som den er - eller rettere sagt hvorfor den er nødvendig i det hele tatt. Å utføre teknikkene for vanlig substitusjon, delbrøkoppspalting og delvis integrasjon er ikke en bekymring foreløbig, men frykter at når ting blir mer kompliserte og man må ta litt mer egene vurderinger, så er det et handicap å ikke forstå bæret av hvordan ting er skrudd sammen. Jeg får snuse litt på kjerneregelen innerste hemmeligheter, men har ikke tid til å bruke for mye tid på slike grublerier

[espen180]

Her er et "bevis" som forklarer en svært viktig integrasjonsregel.

[tex] (u\cdot v)^\prime=u^\prime v+v^\prime u \\ \text{Integrerer begge sider} \\ uv=\int u^\prime v \rm{d}x+\int v^\prime u\rm{d}x \\ \int u^\prime v\rm{d}x=uv-\int v^\prime u\rm{d}x[/tex]

Angående kjerneregelen og substitusjon, så er det ganske oplagt når men tenker over det. Kjernen danner år man deriverer, derfor må den forsvinne når man integrerer.

Generell substitusjon AKA "Trick substitution":

[tex]f(x)=g(u) \, \Leftrightarrow \, f^\prime(x)\rm{d}x=g^\prime(u)\rm{d}u[/tex]

[Tore Tangens]

Det at kjernen må vekk når man integrererer er som du sier helt opplagt, men det jeg prøvde å si var at det ikke er opplagt at man har kjerneregelen i seg selv ved DERIVASJON.