Parameterfremstilling - oppgave

[Roxas]

Hei,

Jeg har problem med siste del av oppgave c) på denne oppgaven:

----------------------

En gjenstand følger kurven til vektorfunksjonen r-vektor(t)=[t + 3, t^2 + 6t]

a) For hvilken t-verdi skjærer kurven andreaksen? Finn skjæringspunktet.

b) Finn skjærningspunktet mellom kurven og x-aksen.

c) Finn fartsvektoren v-vektor(t). Hvor på kurven er den parallell med [1, 14]?

d) Vis ved rening at for t= -3 står fartsvektoren vinkelrett på r-vektor(t).

---------------------

Takk for hjelp!

[Vektormannen]

For å finne fartsvektoren deriverer du posisjonsvektoren: [tex]\vec{v}(t) = \vec{r}^\prime(t) = [(t+3)^\prime, (t^2 + 6t)^\prime][/tex].

For å finne hvor på kurven denne er parallell med [1,14] må du først finne t-verdien hvor dette er tilfellet. Hvordan tror du du kan gjøre det?

[Roxas]

Jeg vet at v-vektor(t) = [1, 2t + 6].

Men jeg skjønner ikke hvordan jeg skal finne hvor på kurven den er parallell med [1, 14]... fasiten sier (7, 40). Må jeg tegne opp alt og lese av grafen?

[Vektormannen]

Nei, begynn som sagt med å finne hvilken t-verdi som gjør at [tex]\vec{v}(t)[/tex] er parallell med [1,14]. Siden x-komponenten til [tex]\vec{v}(t)[/tex] er 1 så må y-komponenten være 14 for at de skal være parallelle. Altså må 2t + 6 = 14.

Når du har funnet t-verdien, hva tror du du må gjøre for å finne hvor på kurven dette skjer?

[Roxas]

OK, jeg tenkte meg at jeg kanskje måtte finne en t-verdi som gjør at v-vektor(t) blir lik [1, 14]. t = 4.

Men hva gjør jeg så med den? Jeg vet ikke helt hvordan den kan hjelpe meg nå... :/

[Vektormannen]

Men har du ikke en funksjon som gir deg punkter (vel, egentlig posisjonsvektorer) på kurven når du gir den t-verdier da?

edit: t-verdien stemmer forresten.

[Roxas]

Ah, jeg ser at jeg må sette den inn i r-vektor funksjonen... og da får jeg svaret (7, 40)!

Men hvorfor må jeg det? Jeg trodde ikke at den hadde noe med oppgaven å gjøre, ettersom oppgaven bare nevner fartsvektoren og [1, 14]. :/

[Vektormannen]

Stemmer det ja

De spør jo etter hvor på kurven dette skjer, altså hvilket punkt på kurven. For å finne punkter på kurven/grafen så må du bruke [tex]\vec{r}(t)[/tex] -- det er jo den som gir deg punkter når du gir den en t-verdi.

[Roxas]

Ja, det er sant! ^^ Tusen takk for hjelpen!

Jeg er ikke så flink med dette når det kommer til å finne paralleller. ^^;

Men hva med denne:

-------

En partikkel beveger seg langs en kurve gitt ved r-vektor(t) = [0,5t^2, t].

...
...

d) Finn det punktet på kurven der fartsvektoren er parallell med y-asken. Er fartsvektoren parallell med x-aksen i noe punkt på kurven?

------

Jeg fant altså ut at v-vektor(t) = [t, 1]. Kanskje det bare er jeg som ikke skjønner helt hva begrepet 'parallell' betyr i denne sammenhengen. :/

[Vektormannen]

Parallell betyr akkurat det samme som det alltid gjør! To vektorer er parallele dersom vinkelen mellom dem er 0 eller 180 grader.

Er du enig i at en vektor som er parallell med y-aksen må ha en x-komponent lik 0? Hvis ikke vil jo ikke vektoren gå rett opp, men også litt bortover langs x-aksen, og da er den jo ikke lenger parallell med y-aksen. Dette kan du bruke til å finne punktet der v-vektor er parallell med y-aksen.

For å finne ut om den kan være parallell med x-aksen; kan en vektor ha en y-komponent hvis den skal være parallell med x-aksen?

[Roxas]

OK, så svaret på det siste spørsmålet blir altså: Nei, fordi vektoren min har en y-komponent lik 1.

Når den er parallell med y-aksen, det er altså når t= 0?

Å ja! Og ut i fra den forrige oppgaven, så må jeg putte denne t-verdien inn i r-vektor(t)!

Altså; [0,5 * 0^2, 0] gir (0, 0), og det er det fasiten sier!

Tusen hjertelig for hjelpen din!

[Vektormannen]

Stemmer dette