virus i befolkningen! (derivasjon)

[julrii]

Hei igjen!


Oppgave 6.

"Et virus sprer seg raskt i en befolkning. En forsker finner en modell for antall prosent (%) av befolkningen som smittes av viruset, x er antall måneder":

S(x) = (100e^x) / (e^x + 1)


a) Hvor stor prosentandel er smittet når studien starter (dvs. x=0)?

b) Vis at S(x) er voksende for alle x.




Takk for all hjelp! [/code]

[espen180]

Hva har du gjort selv?

[julrii]

a)

S(x) = (100 * e^0) / (e^0 + 1)
S(x) = (100 *1) / (1+1)
S(x) = 100 / 2
S(x) = 50

Virker det riktig?

[Realist1]

For meg ser det riktig ut.

[espen180]

jada, det stemmer. Hva med b) da?

[Realist1]

Hint: At grafen er voksende betyr at vekstfarten er positiv.

[julrii]

b)

Grafen er positiv, altså vokser S(x) for alle x.
Vanskelig å begrunne.

Jeg bare nevner oppgave c (trenger ikke hjelp med den):
c) "Tegn grafen til S(x)"

[espen180]

Jeg sliter med å akseptere argumentet ditt. At en graf er positiv for alle x sier ingenting om stigningstallet. Bare se på [tex]f(x)=x^2+1[/tex].

Hint: Vis at den deriverte av S(x) er positiv for alle x.

[julrii]

Jeg prøver å derivere S(x)... tilbake om 5 minutter...

[julrii]

S(x) = (100e^x) / (e^x + 1)

S'(x) = (100 e^x) / (e^x + 1)^2


Utregning:

S(x) = (100e^x) / (e^x + 1)

Bruker:
f(x) = u * v
f'(x) = [u' * v - u * v'] / v^2

S'(x) = [100e^x * (e^x + 1) - 100e^x * e^x] / [(e^x + 1)^2]
S'(x) = [100e^x] / [(e^x + 1)^2]