Sannsynlighet

[Multiplikasjon]

Har en oppgave jeg plages litt med

For å ta ut penger på et minibankkort må vi bruke en firesifret PIN-kode.
For å sikre en bankkonto er minibankene laget slik: Dersom noen slår inn feil PIN-kode tre ganger, avbrytes forsøket på å få ut penger.

a)
Anders oppdager at han har mistet bankkortet sitt. Hvor stor risiko er det for at en fremmed som får tak i kortet til Anders, skal kunne ta ut penger på det?


På forhånd takk

[Kossinuss]

Men hvem kan hjelpe meg med denne: ?

På en tippekupong er det 12 kamper. Knut følger ikke med i fotball, men fyller ut en kupong hver uke helt tilfeldig uten å tenke på hvilke lag som spiller.

På hver kamp er sannsynligheten for å tippe riktig.
Finn sannsynligheten for at Knut får
a tolv rette
b elleve rette
c ti rette
d ni rette eller mindre, slik at han ikke får noen gevinst

[Realist1]

Hvordan har dere tenkt selv?

[Kossinuss]

a. Binompdf(12,1/3,12)
b. Binompdf(12,1/3,11)
c. Binompdf(12,1/3,10)
d. Binomcdf(12,1/3,9)

Hva tror du om det?

[Realist1]

Er ikke helt inne i disse forkortelsene/kodene du nevner, men for å ta a)-oppgaven:

Sjansen for at han svarer riktig er konstant [tex]\frac13[/tex] på hver av de 12 kampene.

Sjansen for at han svarer riktig 12 ganger på rad er da:
[tex]\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 = \left(\frac13\right)^{12} = \frac{1^{12}}{3^{12}} = \frac{1}{531441}[/tex]

For ordens skyld kan vi gange inn 1 også, fordi det er 1 måte å velge 12 kamper ut av 12 mulige. [tex]{12 \choose 12} = 1[/tex].

På b) får du bruk for dette her. Da skal han ha en feil og 11 riktige, altså:
[tex]\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac13 \cdot\frac23 = \left(\frac13\right)^{11} \cdot \frac23 = \frac{2}{531441}[/tex]

Samtidig må vi gange med [tex]{12 \choose 11} = 12[/tex] fordi det er 12 forskjellige måter å ha 11 rette på.

Altså blir sannsynligheten [tex]12\cdot \frac{2}{531441} = \frac{8}{177147} \approx 0,000045 = 0,0045\percent[/tex]

På c) må du gange med [tex]{12 \choose 10}[/tex]

[Kossinuss]

Binompdf er en forkortelse for alt det du nettopp gjorde:

binompdf(12,1/3,12) betyr at du har 12 kamper, 1/3 sjanse for å få rett, og skal ha 12 rette.

Binompdf(12,1/3,12) gir svaret: 0.000002 altså det samme som ditt svar i a-oppgaven.

Binomcdf betyr høyst, her må vi altså legge sammen flere operasjoner (oppgave D).

Kan vi konkludere med at jeg har fått riktig svar ?

[Multiplikasjon]

På den minibank oppgaven tenkte jeg at man rett og slett skulle tenke at det vat 1000 mulige og etter som at han kan prøve 3 ganger, addere de sammen.
Men hver gang trekke fra 1, siden jeg går ut i fra at han ikke prøver samme kode flere ganger.

1/1000 + 1/999 + 1/998 = 0.03%

Er det noe fornuft i det jeg sier?

[Realist1]

Binomcdf betyr høyst, her må vi altså legge sammen flere operasjoner (oppgave D).

Kan vi konkludere med at jeg har fått riktig svar ?

Tja, hvis det er en hendig funksjon som gir "høyst"-svaret, så høres det jo lovende ut.

Har ikke regnet ut sannsynligheten for 12, 11 og 10 rette enda, men la oss tenke oss at vi har gjort det. Sannsynligheten for 12 rette er P(12), sannsynligheten for 11 rette er P(11) og sannsynligheten for 10 rette er P(10). Ok?

Da blir sannsynligheten for MINDRE enn 10 rette (altså 9 eller mindre, som oppgaven spør etter), lik [tex]1 - \left(P(12)+P(11)+P(10)\right)[/tex]

Forsto du den?

[Realist1]

På den minibank oppgaven tenkte jeg at man rett og slett skulle tenke at det vat 1000 mulige og etter som at han kan prøve 3 ganger, addere de sammen.
Men hver gang trekke fra 1, siden jeg går ut i fra at han ikke prøver samme kode flere ganger.

1/1000 + 1/999 + 1/998 = 0.03%

Er det noe fornuft i det jeg sier?

Du må huske at 4 siffer er 10 000 løsninger, ikke 1000. F.eks. 9999 eller 8372. Altså alt fra 0000 til 9999, til sammen 10 000.

Som regel sier oppgaven at koden ikke kan begynne på 0 (f.eks. er 0839 en ugyldig kode), men fordi din oppgave ikke har spesifisert dette antar jeg for prinsippets skyld at det er 10 000 forskjellige koder.


Så: la oss selvfølgelig anta at tyven ikke er dum, og at han dermed prøver tre FORSKJELLIGE koder.

Sjansen for at han tar feil tre ganger på rad, er:
[tex]\frac{9999}{10000} \cdot \frac{9998}{9999} \cdot \frac{9997}{9998} = \frac{9997}{10000} = 0,9997[/tex]
Det er altså 99,97% sjanse for at tyven IKKE klarer å gjette koden på tre forsøk. Derfor er det da 0,03% sjanse for at han faktisk klarer det.

(Formelen sier [tex]1-0,9997=0,0003 = 0,03\percent[/tex].)

Forsto du den?

[Kossinuss]

[quote="Realist1"][quote="Kossinuss"]Binomcdf betyr høyst, her må vi altså legge sammen flere operasjoner (oppgave D).

Kan vi konkludere med at jeg har fått riktig svar ? [/quote]
Tja, hvis det er en hendig funksjon som gir "høyst"-svaret, så høres det jo lovende ut.

Har ikke regnet ut sannsynligheten for 12, 11 og 10 rette enda, men la oss tenke oss at vi har gjort det. Sannsynligheten for 12 rette er P(12), sannsynligheten for 11 rette er P(11) og sannsynligheten for 10 rette er P(10). Ok?

Da blir sannsynligheten for MINDRE enn 10 rette (altså 9 eller mindre, som oppgaven spør etter), lik [tex]1 - \left(P(12)+P(11)+P(10)\right)[/tex]

Forsto du den? [/quote]

Ja! Den er forstått

Skal se over oppgavene til i morgen

Takk for hjelpen! Det var altså slik som jeg trodde

[Multiplikasjon]

Ja, den forsto jeg. Hadde bare glemt et siffer overfor
Hadde en annen måte å løse den på, men svarene ble det samme Tusen takk for hjelpen!

Slenger med b) oppgaven med det samme:


Anders har et reservekort. Han har glemt koden for det, men han vet at han skal bruke sifrene 5, 7, 9 og 3. Hvor stor sjanse har Anders for å få ut penger om vi vet at han prøver tilfeldig med disse sifrene?

Selv kom jeg frem til 4! = 24.

Deretter tok jeg 1/24+1/23+1/22=0.13*100%=13%

Eller hva tror dere?

[Realist1]

Sifrene 5, 7, 9 og 3 skal brukes.
Tenk på de forskjellige tallplassene i koden som bokser.
Første boks er første siffer i koden.
Andre boks er andre siffer i koden.
osv.

La oss først hive et tall oppi boks nr 1. Sannsynligheten for at tallet er riktig, er [tex]\frac14[/tex]. La oss anta at det var riktig siffer. Nå skal et tall i boks nr 2. Sannsynligheten for at det er riktig tall, er [tex]\frac13[/tex]. Deretter boks 3. Sannsynligheten for at det er riktig, er [tex]\frac12[/tex]. I boks 4, altså det siste sifferet i koden, er det bare ett siffer igjen til, som må være det riktig.

Sjansen for at du treffer både med første siffer, andre siffer, OG tredje siffer (og dermed fjerde siffer), er da:
[tex]\frac14 \cdot \frac13 \cdot \frac12 \cdot 1 = \frac{1}{24} = 0,04 = 4\percent[/tex]