Prøve i kapittel 4 - Trig. & komplekse tall - Sinus X

[Realist1]

Som alltid laster jeg opp prøvene mine på nett.

PRØVE I KAPITTEL 4 - SINUS X
Tid: 2 skoletimer
Hjelpemidler: Kalkulator, passer og skrivesaker. Ingen formelsamling.

Oppgave 1
I firkanten [tex]ABCD[/tex] er [tex]\angle{A}=60^o[/tex], [tex]\angle{B} = 75^o[/tex] og [tex]\angle{C} = 90^o[/tex]. Videre er [tex]BC=DC=6[/tex].
a) Tegn en skisse av firkanten.
b) Hva slags trekant er [tex]\Delta BCD[/tex]?
c) Finn [tex]\angle{D}[/tex].
d) Finn den eksakte verdien av lengden av [tex]BD[/tex].
e) Finn de eksakte verdiene av lengdene av [tex]AB[/tex] og [tex]AD[/tex].

Oppgave 2
a) La [tex]z_1 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}[/tex] og [tex]z_2 = \sqrt{3} - 3i[/tex]
. (1) Plasser [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] i det komplekse planet.
. (2) Skriv [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på polar form.
. (3) Skriv [tex]z_1[/tex] og [tex]z_2[/tex] på eksponentiell form.
b)
. (1) Regn ut [tex]z_1 \cdot z_2[/tex] og skriv svaret på polar form.
. (2) Regn ut [tex]\frac{z_1}{z_2}[/tex] og skriv svaret på eksponentialform.

Oppgave 3
a) Finn kvadratrøttene [tex]w_1[/tex] og [tex]w_2[/tex] til [tex]z=3\sqrt{3}+3i[/tex], og skriv svarene på polar form.
b)
. (1) Finn alle løsningene til likningen [tex]z^3 + 27 = 0[/tex], og skriv løsningene på vanlig form.
. (2) Tegn en sirkel med radius 3 og sentrum i origo i et koordinatsystem. Plasser alle løsningene på denne sirkelen.

Oppgave 4
Løs andregradslikningen:
[tex]z^2-(5-i)z+8-i=0[/tex]

Ganske lett prøve egentlig, slapp alt av bevis og utledning, blant annet.
Feel free til å løse oppgaver og poste løsningsforslag her.

[Realist1]

Ai, kjapp på labben han der læreren. Han har allerede lagt ut karakteren på SkoleArena. Jeg fikk 6.

Likte oppgave 4, den var småmoro. Sånn hvis noen vil prøve seg

[Vektormannen]

Gratulerer

Oppgave 4 er vel bare en vanlig andregradsligning med komplekse koeffisienter?

[tex]z = \frac{-(-(5-i)) \pm \sqrt{(5-i)^2 - 4(8 - i)}}{2}[/tex]

[tex]= \frac{5-i \pm \sqrt{-8 - 6i}}{2}[/tex]

Skriver om tallet under rottegnet til trig. form: [tex]|-8 - 6i| = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2} = 10[/tex] og [tex]\arg(-8 - 6i) = \tan^{-1}(\frac{-6}{-8}) + 180^\circ = 216.9^\circ[/tex].

[tex]-8 - 6i = 10(\cos(216.9^\circ) + i \sin(216.9^\circ))[/tex]

[tex]\sqrt{-8 - 6i} = \sqrt{10}(\cos(108.45^\circ) + i \sin(108.45^\circ) = -1 + 3i[/tex]

[tex]z = \frac{5-i \pm (-1 + 3i)}{2}[/tex]

[tex]z = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i \ \vee \ z = \frac{6 - 4i}{2} = 3 - 2i[/tex]

edit: var minus på 5 i b-leddet :p

[Realist1]

[tex]z = \frac{-(5-i) \pm \sqrt{(5-i)^2 - 4(8 - i)}}{2}[/tex]

Siden b-leddet er negativt, og formelen spør etter -b, vil det foran plussminustegnet stå bare 5-i

[Vektormannen]

Stemmer .. overså fortegnet der!

[Realist1]

Da har vi samme svar

[Vektormannen]

Hehe, er mye å holde styr på når man løser slik ligninger.

Men nå er du vel ferdig med det kjekkeste i matematikk X (hvertfall slik jeg ser det :p) Resten er vel statistikk?

[Realist1]

Jepp, statistikk og sannsynlighet. Er normalt ikke interessert i den delen, men vi får se. Dette om komplekse tall var hvertfall litt gøy.