Morsom likning

[Zivert]

La x og y være positive reelle tall. For vilke verdier (x,y) har vi:
[tex]x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2= 2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}-1)[/tex]

[BMB]

Jeg får som eneste svar: [tex](x,y)=(\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1)[/tex].

[Zivert]

Riktig, lyst til å komme med beviset også?

[Charlatan]

[tex]f^\prime(\sqrt{2}+1)=f(\sqrt{2}+1}=0[/tex], og [tex]f^\prime(x \geq \sqrt{2}+1) < 0[/tex], og [tex]f^\prime(x \leq \sqrt{2}+1) < 0[/tex] tror jeg

[BMB]

[tex]x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+2= 2(\sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}-1)[/tex]

kan omformes til

[tex]f(x)+f(y)=0[/tex], der [tex]f(a)=a+\frac{1}{a}-2 \sqrt{2a+1}+2[/tex]

Deriverer man f og setter lik 0, får man [tex]a=1+\sqrt{2}[/tex] som eneste løsning (det man i praksis kan gjøre er å omforme f til en polynomfunksjon, derivere, faktorisere vha. Rational Root Theorem og polynomdivisjon og ta for seg nullpunktene...eller bruke kalkis). Man ser at dette er et bunnpunkt i funksjonen, og attpåtil et nullpunkt for f. Derfor kan den eneste løsningen forekomme bare når [tex]x=y=\sqrt{2}+1[/tex].

Det er vel dette man kaller en grisete løsning. Har du forresten en rent algebraisk løsning, Zivert?

[Zivert]

Det har jeg vet du!

Slik som i din løsning har vi:
[tex]f(x)+f(y)=0 \,\,\,f(a)=a+\frac{1}{a}-2\sqrt{2a+1}+2[/tex]
Men f(a) kan skrives om til:
[tex]f(a)=\frac{1}{a}(a-\sqrt{2a+1})^2 \geq 0[/tex]
Så vi har at [tex]f(x)=0\, [/tex]og [tex]f(y)=0\, [/tex].
[tex]f(x)=0 \,\, \Leftrightarrow \,\, x=\sqrt{2x+1} \Rightarrow x^2-2x-1=0 \Rightarrow x=\sqrt{2}+1[/tex] (da x>0)
Tilsvarende har vi for y.
Eneste par [tex](x,y)[/tex] som tifredsstiller likningen er [tex](\sqrt{2}+1,\sqrt{2}+1)[/tex]