Funksjonsuttrykk!

[akihc]

Dette skal være en vanskelig en og trenger hjelp, setter som regel pris på svar;

Tredjegradspolynomet P(x) har et toppunkt i (-1,17) og et vendepunkt i (1,1).

FInn funksjonsuttrykket?

[mrcreosote]

Kall polynomet ditt P(x)=ax^3+bx^2+cx+d. I et toppunkt må den deriverte være 0. Hva er spesielt med vendepunktet? Hvordan kan vi oversette opplysninga om at funksjonen går gjennom punktet (-1,17)?

Ellers er oppgava en gjenganger og gir du opp vil du nok finne løsning med et søk her på forumet.

[Gommle]

Ser ut som en gøy oppgave, så jeg prøver meg. Hopp over dette svaret hvis du vil prøve selv.

Jeg begynner med et tredjegradspolynom, og første- og andrederiverte for å få litt bedre oversikt.
[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\P\prime(x)=3ax^2+2bx+c\\P\prime\prime(x)=6ax+2b[/tex]

Toppunktet gir meg:
[tex]P(-1)=-a+b-c+d= 17[/tex] og [tex]P\prime(-1) =3a-2b+c=0[/tex]

Vendepunktet gir meg:
[tex]P\prime\prime(1)=6a+2b=0[/tex] og [tex]P(1) =a+b+c+d = 1[/tex]

Samler alle ligningene:
[tex]\begin{align*}I: &-a+b-c+d= 17\\II: &3a-2b+c=0 \\ III: &6a+2b=0\\IV: &a+b+c+d = 1\end{align*}[/tex]

Jeg slenger ligningene inn i Quickmath og får ut:
a = 1
b = -3
c = -9
d = 12

[tex]P(x) = x^3-3x^2-9x+12[/tex]

[akihc]

Det var en fantastisk måte.

Måten jeg brukte var ;

[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d=1[/tex] (f(1) for vendepunktet)

[tex]P``(x)=6ax+2b[/tex]
[tex]6ax=-2b[/tex]
[tex]x=\frac{-2b}{6a}[/tex] vi vet at vendepunktet har x=1, hva må b og a være da?

[tex]1=\frac{-2 \cdot -3}{6 \cdot 1}[/tex]

b=-3 og a=1

c finner vi ved ;

[tex]P`(x)=3ax^2+2bx+c=0[/tex] (for toppunkt for x=-1)

[tex]P`(x) 3 \cdot 1 \cdot (-1)^2+2 \cdot (-3) \cdot (-1)=-c[/tex]

c=-9

d finner vi;

[tex]P(x)=ax^3+bx^2+cx+d=1[/tex](vendepunkt x=1)
[tex]P(x)=1 \cdot 1^3+(-3) \cdot 1^2+(-9) \cdot 1-1=-d[/tex]

d=12

Men jeg likte måte til gommle