Diverse spørsmål om sannsynlighet

[Sosso]

Hei.. jeg sliter veldig med nesten alle sannsynlighetsoppgaver og vet ikke hvordan jeg skal tenke.. Vil sette stor pris på om dere kunne gi meg en forklaring på følgende spørsmål :

1. Jeg vet at nCr betyr uordnet uten tilbakelegging og at nPr er ordnet uten tilbakelegging men når skal man egentlig bruke dem? Og når det gjelder bionomiske sannsynligheter, når skal de brukes?

2. Noe som egentlig er så enkelt:
Du kaster én terning tre ganger. Hva er sannsynligheten for at du får:
a) Ingen seksere: (5/6)^3 = 57,8% Men hva med det å finne sannsynligheten for
- to seksere?
- minst to seksere?

3. 1% av fødslene i Norge er tvillingfødsler. Anta at et sykehus har 100 fødsler i løpet av ett år. Hva er sannsynligheten for at det blir født:
a) 0 tvillingpar
b) 1 tvillingpar
c) 2 tvillingpar
Hvilken formel bruker du her og hvorfor?

4) Hva er det vi egentlig bruker pascals trekant til? Kom gjerne med en oppgave relatert til dette.

Takker igjen.

[Realist1]

1. Eh, du sier jo svaret rett ut. Når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, og man ikke har tilbakelegging, bruker man nCr. nPr er det samme, bare at rekkefølgen da spiller en rolle.

2. Sjansen for å finne to seksere er en slik ting man kan bruke binomisk sannsynlighet for å finne.
Sjansen for å få minst to seksere er altså den samme som å få to eller tre seksere. Dette kan du gjøre hver for seg og plusse dem sammen, eller der det blir mye slit (f.eks. 10 kast og spørsmål om minst 1 sekser) så kan du finne sannsynligheten for at du IKKE får det, og deretter trekke dette fra 1.
For eksempel: 10 kast, hva er sannsynligheten for å få minst 1 sekser?
Løsning: 0 seksere = (5/6)^10 = 0,16
Sannsynligheten for å få minst 1 sekser er da 1-0,16 = 0,84 = 84%

3. Her kan du også bruke den binomiske sannsynlighetsmodellen.

4. Jeg har aldri brukt Pascals trekant til noe sannsynlighetsrelatert, så dette kan jeg ikke svare på.

[espen180]

Hei

1) I vgs-sannsynlighet kan vi nesten alltid se på hendelser som trekninger. Vi bruker en binomisk sannsynlighetsmodell når sannsynligheten for en hendelse ikke endrer seg for hver trekning. På motsatt side bruker vi en hypergeometerisk sannsynlighetsmodell når sannsynligheten for at en heldelse inntreffer endres for hver trekning.

Begge modellene gjelder for uordnede utvalg. Forskjellen mellon dem blir da at vi bruker den binomiske sannsynlighetsmodellen for trekninger med tilbakelegging, og den hypergeometeriske sannsynlighetsmodellen for trekninger uten tilbakelegging.


4) Pascals trekant kan deles inn i ledd. Vi kaller hvert ledd [tex]a_{m,n}[/tex], som tilsvarer ledd [tex]n[/tex] i rad [tex]m[/tex]. Da vil [tex]a_{m,n}=a_{m-1,n}+a_{m-1,n+1}[/tex]. En veldig nyttig egenskap som Pascals trekant har er at den hjelper oss med å multiplisere ut og faktorisere polynomer. Leddene i rad [tex]m[/tex] gir oss koeffisientene til ekspansjonen av [tex](a+b)^{m-1}[/tex]. For eksempel er leddene i tiende rad:

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

Altså vil [tex](a+b)^9=a^9+9a^8b+36a^7b^2+84a^6b^3+126a^5b^4+126a^4b^5+84a^3b^6+36a^2b^7+9ab^8+b^9[/tex]

Pascals trekant har også mange andre bruksområder og har paraleller blandt annet til Sierpinskis Trekant, en av verdens mest kjente fraktaler. Jeg foreslår at du leser Wikipedia-artikkelen on Pascals trekant for å få en bedre forståelse av den.

http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

[lodve]

Har lenge lurt på om det finnes uordnet utvalg med tilbakelegging? slik som ordnet utvalg med tilbakeligging eller uten tilbakelegging.

[Vektormannen]

Ja, det står om det her.

[Sosso]

Hvis vi går tilbake til oppgave 3: 1% av fødslene i Norge er tvillingfødsler. Anta at et sykehus har 100 fødsler i løpet av ett år. Hva er sannsynligheten for at det blir født:
b) 1 tvillingpar

Her har jeg lærerens løsningsforslag men jeg forstår ikke helt logikken bak det:
P(1) = (100 over 1) 0,01^1* 0,99^99 = 0,370 = 37 %

Hvorfor er det 0,01^1 og 0,99^99 ?

[Realist1]

I et binomisk forsøk gjør vi [tex]n[/tex] uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending [tex]A[/tex]. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen [tex]A[/tex] lik [tex]p[/tex]. La [tex]X[/tex] være antallet ganger [tex]A[/tex] inntreffer. Sannsynligheten for at [tex]A[/tex] skal inntreffe nøyaktig [tex]k[/tex] ganger, er
[tex]P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}[/tex]

Hva får du ut av det?

[haakon1202]

2=

ved minst og akkurat 2 av et slag liker jeg godt eplemodellen der jeg finner alle mulige utfall.

Minst 2 sekserer:
6'eren må ikke komme på første kast men på de 2 neste eller første og siste...

dette gjør at vi sitter igjen med 3 rekke følger( 5/6*1/6*1/6 + 1/6*1/6*5/6+ 1/6*5/6*1/6)

5/216+ 5/216+5/216= 15/216 = 0,0694 [symbol:tilnaermet] 7%

minst 2 6'ere får du i tilleg utfallet der du får 3 6' ere etter hverandre

5/216+ 5/216+5/216+ 1/216= 16/216 = 0,074 [symbol:tilnaermet] 7,4%

Ser det riktig ut??

[haakon1202]

2=

ved minst og akkurat 2 av et slag liker jeg godt eplemodellen der jeg finner alle mulige utfall.

Minst 2 sekserer:
6'eren må ikke komme på første kast men på de 2 neste eller første og siste...

dette gjør at vi sitter igjen med 3 rekke følger( 5/6*1/6*1/6 + 1/6*1/6*5/6+ 1/6*5/6*1/6)

5/216+ 5/216+5/216= 15/216 = 0,0694 [symbol:tilnaermet] 7%

minst 2 6'ere får du i tilleg utfallet der du får 3 6' ere etter hverandre

5/216+ 5/216+5/216+ 1/216= 16/216 = 0,074 [symbol:tilnaermet] 7,4%

Ser det riktig ut??

[Realist1]

Uten å kunne garantere det (så ikke veldig nøye på det) så virker det korrekt, ja. Men det blir litt tungvindt om du som sagt får oppgaven "finn sannsynligheten for minst 1 sekser på 10 kast".

[Realist1]

I et binomisk forsøk gjør vi [tex]n[/tex] uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en hending [tex]A[/tex]. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen [tex]A[/tex] lik [tex]p[/tex]. La [tex]X[/tex] være antallet ganger [tex]A[/tex] inntreffer. Sannsynligheten for at [tex]A[/tex] skal inntreffe nøyaktig [tex]k[/tex] ganger, er
[tex]P(X=k) = {n \choose k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}[/tex]

Hva får du ut av det?

Jeg kan hjelpe mer. Av denne teksten kan vi si at:
n = 100 (siden det er 100 fødsler i året)
p = 0,01 (siden sjansen for tvillingfødsel er 1%)
k = 1 (siden vi vil finne sjansen for at det blir akkurat 1 par)

Smokker det rett inn i formelen:
[tex]P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,01^1 \cdot (1-0,01)^{100-1}[/tex]
som igjen gir:
[tex]P(X=1) = {100 \choose 1} \cdot 0,01 \cdot (0,99)^{99}[/tex]

Og derfra er det jo lett.
Forståelig?