Vektorer

[akihc]

Løsningsmengden [tex]x^2-3x+y^2+4y=0[/tex] er en sirkel i xy-planet.

a)Finn sirkelens sentrum O og radius r.

Svar: Jeg fant [tex]O(\frac{3}{2},2)[/tex] og radius=2,5 Kan det stemme?

b) Sirkelen snitter y-aksen i to punkt A og B. Bestem arealet til sirkelsektoren avgrenset av OA og OB.

Prøvde;

Gikk utifra at OA og OB lengdene er lik radius. Da er OA=2,5 og OB=2,5 tror jeg.Også skulle jeg finne arealet av sirkelsektoren og da brukte jeg denne formlen [tex]A=\frac{1}{2} vr^2[/tex]

Må finne v ;


også finner jeg u som er sentralvinkelen som er avgrenset av OA og OB.Bruker skalarproduktet [tex]OA \cdot OB=|OA| \cdot |OB| cos u[/tex]

[tex]cos u =180[/tex]

Periferivinkelen er to ganger sentralvinkel som gir 2v=u ;

90 grader eller i radian [tex]{\pi}{2}[/tex]

[tex]A=\frac{1}{2} \cdot \frac{pi}{2} \cdot 2,5^2=4,9[/tex] Kan det stemme=?

[Vektormannen]

a) Radius blir 5, ikke 2.5, og O = (3, -4), ikke (3/2, 2). Hvordan gikk du frem for å finne dine svar?

[akihc]

Jeg lagde et bilde av sirkellikningen lik denne ;

[tex](x-x_1)^2+(y+y_2)^2=r^2[/tex]

Og da så brukte jeg første og andre.kvadratsetningen og så da på likningen slik;

[tex]x^2-2 \cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4} +y^2 2 \cdot 2 + 4 -6,25=0[/tex]her er -6,25 radiusen siden [tex]\frac[3}{2}+4=5,5[/tex](som r^2 gir det 2,5 fordi 2,5 * 2,5 er 6,25

Det gir den øverste likningen som oppgaven viser og da med radius som vi ser fra denne likningen er 2,5. Feil og feil.....du får radius 5 hvordan? Hvordan fikk du O(3,-4) ? Og hvrdan løser du b ?

[Vektormannen]

Uff, er visst jeg som roter her! Beklager. Du har gjort det på riktig måte, men y-koordinaten til O skal vel bli -2, ikke 2.

På b) er det vel lettest å finne skjæringspunktene. Du vet jo at når sirkelen skjærer y-aksen, er x 0. Da får du en andregradsligning med y som variabel. Når du har funnet skjæringspunktene er det lett å finne vektorene fra O og ut til dem. Da kan du finne vinkelen som utgjør sirkelsektoren.

[akihc]

hvis y-kordinaten er -2 så får man ved bruk av andre kvadratsetning 2 ganger med ganger med -2 som gir -4y men likningen som vi har fått oppgitt har +4y og det kan vi kun få når y kordinaten er 2 og ikke minus to for ellers får jo vi -4y?

Skjæringspunkter med y aksen er når x=0 , det gir [tex](y+2)^2[/tex] Som gir en andregradslikning; [tex]y^2+4y+4=0[/tex]

Gir y=-2

Så er det skjæringspunkter med x-aksen [tex](x-2)^2[/tex] gir;

[tex]x^2-4x+4[/tex]

Gir: x=2

Hvordan finner jeg vektorene OA og OB og vinkelen mellom dem, kunne noen vise det?

[Vektormannen]

Hvorfor drar du inn skjæringspunkt med x-aksen? For å finne skjæringspunktene med y-aksen, setter du x = 0. Da får du fra den oppgitte sirkelligninga (den er enklest å bruke), at [tex]y^2 + 4y = 0[/tex]. Dette gir to y-verdier.

For å finne OA og OB er jo en smal sak. De har jo koordinater (0, y) der y er y-verdiene til skjæringspunktene. Å finne vektoren mellom to punkter kan du vel?

[akihc]

Hvis jeg gjør som du sier [tex]y^2+4y=0[/tex] Gir dette y=0 og y=-4.

Da er ;
OA(0,0) og OB (0,-4). Og vektor AB er da [0,-4].Men trenger man å vite vektor AB ? Holder det ikke med OA og OB for det er jo disse to vektorene OA og OB og vinkelen mellom dem som er med på å finne arealet av sirkelsektoren for det er disse to vektorene som avgrenser sirkelsektoren.

Da hadde jo dette blitt;

[tex]\frac{1}{2} \cdot v \cdot r^2[/tex]

Vinkelen mellom vektorene OA og OB er jo da gitt ved bruk av skalarprouktet slik;

[tex]OA \cdot OB = |OA| \cdot |OB| \cdot cosv[/tex] gir;

[tex]cos^{-1}(1) =0[/tex]

[tex]cosv=90 [/tex]

Dermed er arealet gitt ved.
[tex]\frac{1}{2} \frac{\pi}{2} \cdot 2,5^2[/tex]

Hvis det er riktig til hit så har jeg et problem, jeg skjønner ikke hvordan [tex](y+2)^2[/tex] kan bli [tex]y^2+4y=0[/tex]som jeg forutsatte da du sa det, for [tex]](y+2)^2=y^2+4y+4[/tex]Her skulle jo radiusen som er på høyre side av sirkellikningen settes inn på venstre siden men da trenger radiusen å være lik 2 siden det er r^2 , siden radiusen er da 2 vil flyttingen av dette på venstre side som 2^2 =4 få vekk tallet 4 og da ahr vi likningen som du henviste til var den enkele å bruke i utregningen. Men vi har jo forutsatt at radiusen er 2,5. Så det stemmer ikke med å finne verdier for y. Hvordan tror noen at det skal bli?

[Vektormannen]

Nei, man trenger ikke å vite [tex]\vec{AB}[/tex] som du sier? [tex]\vec{AB}[/tex] har da ikke blitt nevnt en gang.

Resten av utregningene stemmer, såvidt jeg kan se. Når det gjelder det siste du skriver, skjønner jeg ikke helt hva du mener.

Vi har to ekvivalente ligninger for sirkelen. Den som er oppgitt i oppgaven, og den vi får når vi "fikler" litt med denne for å få den på en mer brukbar form (der vi kan lese av sentrum og radius). Det er akkurat det samme hvilken av disse vi velger å bruke for å finne skjæringspunktene -- begge har jo sirkelen som løsningsmengde, og vi bruker akkurat samme fremgangsmåte uansett. Det vi er interessert i å finne er jo de punktene på sirkelen som oppfyller at x = 0. Det er jo kun disse punktene som vil ligge på x-aksen.

Det er som sagt akkurat det samme hvilken ligning vi bruker:

I) Velger den som er oppgitt i oppgaven, [tex]x^2 - 3x + y^2 + 4y = 0[/tex]. Setter x = 0, og da faller alle ledd med x bort, og vi står igjen med en enkel andregradsligning som kan løses med faktorisering.

II) Velger den ligninga vi har kommet frem til for å finne sentrum og radius, [tex](x-\frac{3}{2})^2 + (y + 2)^2 = 6.25[/tex]. Setter x = 0 som gir at

[tex](0 - \frac{3}{2})^2 + (y+2)^2 = 6.25[/tex].

[tex]\frac{9}{4} + (y+2)^2 = 6.25[/tex]

[tex](y+2)^2 = \frac{25}{4} - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} = 4[/tex]

[tex]y + 2 = \pm \sqrt{4} = \pm 2[/tex]

[tex]y = 2 - 2 = 0 \ \vee \ y = -2 - 2 = -4[/tex]

[akihc]

Så da er arealet av sirkelsektoren;

[tex]A=\frac{1}{2} \frac{\pi}{2} \cdot (2,5)^2=4,9[/tex]

[Vektormannen]

Jepp

[akihc]

Takk for hjelpen!

[Heppet]

Da er ;
OA(0,0) og OB (0,-4). Og vektor AB er da [0,-4].Men trenger man å vite vektor AB ? Holder det ikke med OA og OB for det er jo disse to vektorene OA og OB og vinkelen mellom dem som er med på å finne arealet av sirkelsektoren for det er disse to vektorene som avgrenser sirkelsektoren.

Herfra og ut virker det som du har prøvd deg på noen snarveier.
(0,0) og (0,-4) er punkter på sirkelen. Vektorene OA og OB må jo regnes ut fra sentrum i sirkelen.

Og hvordan fikk du:
[tex]OA \cdot OB = |OA| \cdot |OB| \cdot cosv[/tex]

til å gi cosv = 1 ?

[Heppet]

noe jeg også stusser på i oppgaven er at jeg ikke skjønner at det er selvforklarende hva som vil være sirkelsektoren? De to vektorene vil vel dele opp sirkelen i to forskjellige sirkelsektorer.