spm om integrasjon

[Heppet]

Hvorfor kan man ikke integrere sin^2x med substitusjon?

av typen: setter sinx = u
[symbol:integral] u^2 = (u^3)/(3u') + c = sin^3x/(3*-cosx) + c?

Og jeg vet hvordan man egentlig skal/kan løse den, jeg skjønner bare ikke hvorfor dette blir feil.

[Stone]

Fordi du har egentlig prøvd å integrere [tex]\int u^2 dx[/tex] nå.
Du kan ikke integrere u, med hensyn på x. Da blir det feil.

Kan man si det sånn?:p

[Olorin]

Du har ikke benyttet substitusjon riktig, det er ihvertfall en åpenbar grunn :p

[FredrikM]

Hvorfor kan man ikke integrere sin^2x med substitusjon?

av typen: setter sinx = u
[symbol:integral] u^2 = (u^3)/(3u') + c = sin^3x/(3*-cosx) + c?

Og jeg vet hvordan man egentlig skal/kan løse den, jeg skjønner bare ikke hvorfor dette blir feil.

Prøv og deriver uttrykket du fikk nå. Så ser du at det er feil.

Når du substituerer, må du rote inn den deriverte av uttrykket på en eller annen måte, og det er ikke her.

På samme måte kan du jo konkludere med at
[tex]\int e^{x^2} dx = \int e^u du = e^u+C = e^{x^2}+C[/tex]
Men dette er bare tull.

[Heppet]

Altså, jeg vet at det er feil, jeg ser at det er feil, og ser lett at den deriverte av det ikke blir riktig svar. Men jeg har ennå ikke helt taket på nøyaktig hvor det er det blir feil (?). Og jeg roter jo inn den deriverte av uttrykket, det er jo der -cosx i nevneren kommer fra.

[meCarnival]

[tex]\int cosx sin^2x dx=\int cosx (sinx)^2dx[/tex]

Ser at [tex](sinx)^, = cosx[/tex] og setter:

[tex]u = sinx[/tex]

Bytter ut med "u-verdien":

[tex]\int cosx u^2dx[/tex]

Og her ser vi at vi ikke kan integrere [tex]u[/tex] mhp [tex]x[/tex] så da deriverer vi uttrykket vi satt som [tex]u[/tex], gjør så det om mhp på dx og substituerer (variabelskifte).

Deriverer:
[tex]u=sinx[/tex]

[tex]\frac{du}{dx}=cosx[/tex]

[tex]dx=\frac{du}{cosx}=\frac{1}{cosx}dx[/tex]

Bytter ut [tex]dx[/tex] med [tex]du[/tex]:

[tex]\int cos x \cdot u^2 \cdot \big( \frac{1}{cosx} \big ) du[/tex]

[tex]\int \frac{cosx \cdot u^2}{cosx}du[/tex]

[tex]\int \frac{\cancel{cosx} \cdot u^2}{\cancel{cosx}}du[/tex]

Nå er hele uttrykket omgjort til u'r og det finnes ingen x'r. Dermed kan vi begynne å integrere det nye uttrykket vårt:

[tex]\int u^2 du[/tex]

Regel:
[tex]\frac{1}{r+1}u^{r+1}[/tex]
I dette tilfellet er [tex]r = 2[/tex]:

[tex]\frac {1}{2+1}u^{2+1}[/tex]

[tex]\frac {1}{3}u^{3}[/tex]

[tex]\frac{u^3}{3}[/tex]

Setter inn u for igjen (pga uttrykket i starten var uttrykt med x!)

[tex]u = sinx[/tex]

[tex]\frac{(sinx)^3}{3}=\frac{sin^3x}{3}[/tex]



EDIT: Så feil på oppgaven eller tenkt på en jeg så her en dag og gjorde feil! Denne er korrekt løst hvertfall