kurve på polarkoordinat, omskriving

[HelgeT]

oppgaven er hentet fra www.eksamensoppgaver.org

kurven er gitt ved r=cos^2 Ө

dette kan skrives på formen (x^2 + y^2)^3 = x^4 i et vanlig koordinatsystem.

hvordan kan eg føre bevis for dette?

Og hvordan kan eg tegne inn (x^2 + y^2)^3 = x^4 i et vanlig koordinatsystem? skal jo være y = #¤&%£
eller (x , y) = (# , #)

Forstår ingenting!!

[Vektormannen]

r kan uttrykkes som [tex]r = \sqrt{x^2 + y^2}[/tex], og vi har også at [tex]x = r \cdot \cos \theta[/tex] og [tex]y = r \cdot \sin \theta[/tex].

Her har vi at [tex]r = \cos^2 \theta[/tex]. Kan du bruke noe av det ovenfor til å skrive om venstreside her? Hva med høyresiden?

Edit: angående det andre spørsmålet ditt så er det jo bare å omforme ligninga slik at du har et eksplisitt uttrykk for y?

[tex](x^2 + y^2)^3 = x^4[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = \sqrt[3]{x^4}[/tex]

osv.

Nå kan kurva plottes med kalkulator etc.

[mepe]

ofte så tror jeg de prøver at få oppgaverne til at se vanskeligere ut enn de er ... for det Mette påstår er :
[tex](x^2+y^2)^3 = x^4[/tex]

- og det skal vi teste, når vi vet at
[tex]x= rcos\theta[/tex] og [tex]y= rsin\theta[/tex]
så det er egentlig bare at sette disse x og y verdier inn i Mettes uttrykk

Edit: måtte endre en sin til cos!! - det er nu gjort!

[tex]((rcos\theta)^2+(rsin\theta)^2)^3 = x^4[/tex]
[tex](r^2 \cdot cos^2\theta+ r^2 \cdot sin^2\theta)^3 = x^4[/tex]


osv !!!

inntil du står tilbake med
[tex]r= rcos^2\theta[/tex]
!!

C) den er jeg ikke helt så sikker på, men prøver !!

der står at du skal finne uttrykket for[tex] Y^2[/tex]

du kan vel kanskje både bruke
[tex]y^2 = (rSin\theta)^2[/tex]
[tex]y^2= cos^4\theta \cdot sin^2 \theta[/tex]

og

([tex]x^2+y^2)^3 = x^4[/tex]
[tex]y^2 = x^{4}{3} -x^2[/tex]

da det er volm der ligger over x-aksen som skal dreies ... ser vi at yterpunkterne er -1, 1, hvis vi bruker den siste variant ... eller [tex]0, \pi [/tex]hvis du bruker den 1. variant

(NB!! er der en der kan vertifisere at det korrekt tenkt!!)

bruker jeg den 1.variant får jeg
[tex]V= \pi\int_0^{\pi} Cos^4 \theta \cdot sin^2 \theta d\theta = 0,617[/tex]
hvis du bruker den siste variant
så er
[tex]V = \pi\int_{-1}^1 x^{4}{3} - x^2 dx = 0,598[/tex]

!! er litt spent på om jeg tenker rigtigt her!!

[Vektormannen]

ofte så tror jeg de prøver at få oppgaverne til at se vanskeligere ut enn de er ... for det Mette påstår er :
[tex](x^2+y^2)^3 = x^4[/tex]

- og det skal vi teste, når vi vet at
[tex]x= rcos\theta[/tex] og [tex]y= rsin\theta[/tex]
så det er egentlig bare at sette disse x og y verdier inn i Mettes uttrykk

[tex]((rcos\theta)^2+(rsin\theta)^2)^3 = x^4[/tex]
[tex](r^2 \cdot sin^2\theta+ r^2 \cdot sin^2\theta)^3 = x^4[/tex]

osv !!!

inntil du står tilbake med
[tex]r= rcos^2\theta[/tex]
!!

Hmm? Det stemmer vel ikke helt. Skreiv du feil kanskje?

Det jeg foreklår å gjøre er noe slikt:

[tex]r = \cos^2 \theta[/tex]

[tex]\sqrt{x^2 + y^2} = \left(\frac{x}{r}\right)^2[/tex]

[tex]\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{(\sqrt{x^2 + y^2})^2}[/tex]

[tex]\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{x^2}{x^2 + y^2}[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = \left(\frac{x^2}{x^2 + y^2}\right)^2[/tex]

[tex]x^2 + y^2 = \frac{x^4}{(x^2 + y^2)^2}[/tex]

[tex](x^2 + y^2)^3 = x^4[/tex]

[mepe]

Den måte jeg løste den på er som følger, men jeg ser jo at din kanskje er litt enklere!!

[tex]((rcos\theta)^2+(rsin\theta)^2)^3 = x^4[/tex]

[tex](r^2 \cdot cos^2\theta+ r^2 \cdot sin^2\theta)^3 = x^4[/tex]

[tex](r^2(cos^2\theta+sin^2\theta))^3 = r^4Cos^4\theta[/tex]

[tex](r^2 \cdot 1)^3 = r^4cos^4\theta[/tex]

[tex]r^6 =r^4cos^4\theta[/tex]

[tex]\frac{r^6}{r^4} = cos^4\theta[/tex]

[tex]r^2=cos^4\theta[/tex]

[tex]\sqrt{r^2} = \sqrt{cos^4\theta}[/tex]

[tex]r= cos^2\theta[/tex]

edit: vektormannen hadde helt rett... det r hadde intet i denne likning at gjøre!!! - så nu er det borte

[Vektormannen]

Jada, jeg er helt enig i metoden din. Det eneste jeg reagerer på er den siste linja. Det skal vel ikke være noen r på høyresiden?

Ellers så er det vel helt likegyldig hvilken vei man går ja.

[HelgeT]

ofte så tror jeg de prøver at få oppgaverne til at se vanskeligere ut enn de er ...

de får de bra til syns eg. Men det hjelper veldig at du påpeker det. forstår utregningene her men kunne aldri fått dette til selv tidligere i dag.

[mepe]

vedr. spm c, kan man tenke som jeg gjør der?
Jeg ser jo at jeg ikke får eksakt samme resultatt!! men !! - er tankegangen korrekt ... eller er det tanker som må fort ut av hovedet!!