Integralkalenderen

[Mayhassen]

Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.

Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul

1.des:
[tex]\int^1_0 \frac{dx}{1+x+x^2}[/tex]


2.des
[tex]\int \sqrt{1+sqrt x} dx[/tex]

hint:prøv med substitusjonen x=u²

[Janhaa]

Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.

Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul
1.des:
[tex]\int^1_0 \frac{dx}{1+x+x^2}[/tex]
hint:prøv med substitusjonen x=u²

[tex]I=\int\frac{dx}{(x+(1/2))^2+3/4)}[/tex]

u = x + 1/2

[tex]I=\int\frac{du}{(u^2+(3/4))}[/tex]

v[sup]2[/sup] = (3/4) u[sup]2[/sup]

[tex]I=\frac{2\sqrt3}{3}\int\frac{dv}{v^2+1}[/tex]

[tex]I=\frac{2\sqrt3}{3}\arctan({2\over\sqrt3}(x+{1\over 2}))\,+\,C[/tex]

innsatt grenser, [tex]I = \frac{\pi\sqrt3}{9}[/tex]

tror jeg

[Janhaa]

Syns det var lenge siden med noen integraler her inne og vi må jo ha en liten julekalender her inne syns jeg.
Jeg åpner de to første, deretter kan den som løste dagens, poste ett til dagen derpå etc, og på Julaften, ja da er vi spinnville og lar alle sammen poste så mye de vil..God Jul
2.des
[tex]\int \sqrt{1+sqrt x} dx[/tex]
hint:prøv med substitusjonen x=u²

benytta meg av hintet;

[tex]I_2=2\int u\sqrt{u+1}\,du[/tex]

deretter, v = u + 1
dv = du


[tex]I_2=2\int (v-1)\sqrt{v}\,dv=2\int (v^{3\over 2}\,-\,v^{1\over2})\,dv[/tex]

[tex]I={4\over 5}(\sqrt x + 1)^{5\over 2}\,-\,{4\over 3}(\sqrt x + 1)^{3\over 2}\,+\,C[/tex]

[Janhaa]

Her kjem integral 3;

[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]

[Mayhassen]

Her kjem integral 3;

[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]

1 og 2 var helt korrekte Janhaa!

Da prøver jeg meg på 3:
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}} \|\cdot \frac{\frac{e^t}{t^2}}{\frac{e^t}{t^2}}[/tex]
[tex]=\int\frac {\frac{e^tt-e^t}{t^2}dt}{1+\frac{e^{2t}}{t^2}} \\ u=\frac{e^t}{t} \\ \frac{du}{dx}=\frac{e^tt+e^t}{t^2} \\ = -\int \frac{1}{1+u^2}=-\arctan(u)+C=-\arctan({\frac{e^t}{t})+C[/tex]

[Janhaa]

Her kjem integral 3;
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}}[/tex]

1 og 2 var helt korrekte Janhaa!
Da prøver jeg meg på 3:
[tex]I_3=\int\frac {(1\,-\,t)\,dt}{e^t\,+\,t^2e^{-t}} \|\cdot \frac{\frac{e^t}{t^2}}{\frac{e^t}{t^2}}[/tex]
[tex]=\int\frac {\frac{e^tt-e^t}{t^2}dt}{1+\frac{e^{2t}}{t^2}} \\ u=\frac{e^t}{t} \\ \frac{du}{dx}=\frac{e^tt+e^t}{t^2} \\ = -\int \frac{1}{1+u^2}=-\arctan(u)+C=-\arctan({\frac{e^t}{t})+C[/tex]

ser bra ut dette Mayhassen...

[Mayhassen]

[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..

[espen180]

5. har ikke blitt postet, så:

[tex]I_5=\int\cos(\sqrt{1-x})\rm{d}x[/tex]

Edit:
Satte på integraltegn

[Janhaa]

[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..

Vel, nå har vi ikke knekt denne julenøtta ennå. Jeg veit hvordan den skal angripes, men har ikke fullført arbeidet ennå. Jækla jobb !
Kjører man på med substitusjon og delbrøksoppspalting, når man sikkert målet.
Undre meg på om en glup substitusjon fører fram?

[Janhaa]

5. har ikke blitt postet, så:
[tex]I_5=\int \cos(\sqrt{1-x})\rm{d}x[/tex]

PS
Espen, jeg tillot meg å sette på et integraltegn, er litt nevrotisk på slikt.
Nåja, denne var grei;

bruker substitusjonen [tex]\,\,u^2={1-x}\,\,\Rightarrow\,\,2u\,du=-\,dx[/tex]

[tex]I_5=-2\int u\cos(u)\,du=2\int \sin(u)\,du\,-\,2u\sin(u)\,+\,C[/tex]

[tex]I_5=-2(\cos(u)\,+\,u\sin(u))\,+\,C=-2(\cos(\sqrt{1-x})\,+\,\sqrt{1-x}\sin(\sqrt{1-x}))\,+\,C[/tex]

[orjan_s]

[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..

Denne satt langt inne

setter [tex]u=\frac{1}{x^4(x^2+1)^2} \,\,\Rightarrow\,\, \frac{du}{dx}=-\frac{4(1+2x^2)}{x^5(1+x^2)^3}[/tex]

som gir

[tex]-\frac{1}{4} \int\, du=-\frac{1}{4}u+C=-\frac{1}{4x^4(x^2+1)^2}+C[/tex]

[espen180]

Noen som har nummer 6 på lager?

[orjan_s]

[tex]I_6=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{x^2+(1/x^2)}}\, \rm{d}x[/tex]

[Charlatan]

[tex]I_6=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}}\, \rm{d}x=\int \frac{x^2-1}{x(x^2+1)sqrt{(x+\frac{1}{x})^2-2}}\, \rm{d}x[/tex]

[tex]\sqrt{2}u=x+\frac{1}{x} \Rightarrow \sqrt{2}\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=1-\frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}(x^2-1) \Rightarrow \sqrt{2}x^2\frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=x^2-1[/tex]
[tex]\sqrt{2}ux=x^2+1[/tex]

[tex]I_6= \int \frac{\sqrt{2}x^2}{x(\sqrt{2}ux)\sqrt{2u^2-2}} \rm{d}u = \frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{u\sqrt{u^2-1}} \rm{d}u[/tex]

[tex]u^2-1=t \Rightarrow \frac{\rm{d}t}{\rm{d}u}=2u[/tex]
[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{u^2\sqrt{t}} \rm{d}t=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t}} \rm{d}t[/tex]

[tex]t=r^2 \Rightarrow 2r\frac{\rm{d}r}{\rm{d}t} = 1[/tex]

[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{4} \int \frac{2r}{(r^2+1)r} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2} \int \frac{1}{(r^2+1)} \rm{d}r=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(r)+C[/tex]

[tex]r=\sqrt{t}=\sqrt{u^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})^2-1}=\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})}[/tex]

[tex]I_6=\frac{\sqrt{2}}{2}\arctan(\sqrt{\frac{1}{2}(x^2+\frac{1}{x^2})})+C[/tex]

Hvis noen sitter og venter med et integral, bare post det. Hvis ikke kan jeg prøve å spore opp et selv.

[Janhaa]

[tex]I_4=\int\frac{1+2x^2}{x^5(1+x^2)^3}dx[/tex]
tips: selv om nevner kan faktoriseres, er det ikke alltid det er det smarteste..

Denne satt langt inne
setter [tex]u=\frac{1}{x^4(x^2+1)^2} \,\,\Rightarrow\,\, \frac{du}{dx}=-\frac{4(1+2x^2)}{x^5(1+x^2)^3}[/tex]
som gir
[tex]-\frac{1}{4} \int\, du=-\frac{1}{4}u+C=-\frac{1}{4x^4(x^2+1)^2}+C[/tex]

jaggu smart substitusjon orjan_s