funderer på algebra, utgangspunkt i logarithme

kenewbie · 01/12-2008 21:09

lg(x + 6) = 2 lg x

jeg regnet ut svarene som x = 3 og x = -2, men min kjære lærebok sier at x = -2 ikke er lov pga høyre side i utrykket.

Men, dersom vi skriver om høyre side som lg x^2, så gir jo -2 riktig svar ( 4 = 4)..

.. og da begynner jeg å lure på hvordan dette henger sammen. For utrykk skal jo ende opp med akkurat samme tall før og etter en algebraisk manipulasjon, men det ser de ikke ut til å gjøre her.

Er hele forklaringen her at funksjoner skal evalueres før eksponenter og at lg(-2^2) således regnes som et negativt tall?

k

01/12-2008 21:19

Når du løser ligninger er målet å finne hvilke x-verdier som passer inn i den opphavelige ligningen, ikke andre ligninger som oppstår etter algebraisk manipulasjon. Men uansett, når du omformer høyresida slik du sier, bruker du ligninga [tex]2 \lg x = \lg(x^2)[/tex], men denne gjelder hvis og bare hvis x > 0. Så kravet at x > 0 er fortsatt med.

kenewbie · 01/12-2008 21:57

Vektormannen wrote:Når du løser ligninger er målet å finne hvilke x-verdier som passer inn i den opphavelige ligningen, ikke andre ligninger som oppstår etter algebraisk manipulasjon.

Men

lg(x + 6 ) = 2 lg x <=> lg (x + 6) = lg x^2

Så da må det være mulig å se ut ifra høyre side av ekvivalenstegnet at x = -2 ikke er lov. Og den eneste "loven" jeg kan dra ut i fra dette uten at de to ligningene ikke er ekvivalente, er at regnerekkefølgen (eksponenter før paranteser før multiplikasjoner osv) er slik at funksjoner er det aller første man skal regne ut, og at fortegnet til "grunntallet" i en eksponent bestemmer om tallet er positivt eller negativt når du gir det til en funksjon.

Hvis ikke knekker ekvivalensen, og regelen om at lg a^b = b lg a.

Er jeg helt på jordet her?

k

01/12-2008 22:20

Ligningen lg(x + 6) = 2 lg x har en grunnmengde på alle positive reelle tall. Det vil si at den kun holder for reelle x-verdier større enn 0. Ekvivalensen du peker til, gjelder bare hvis ligninga på høyreside også har samme grunnmengde, dvs. at x også må være større enn 0 her. Hvis ikke er det bare implikasjon.

Jeg vet ikke om dette er rett måte å formulere det på, så noen guruer kan jo kanskje oppklare saken.

kenewbie · 01/12-2008 22:29

Vektormannen wrote:Ligningen lg(x + 6) = 2 lg x har en grunnmengde på alle positive reelle tall. Det vil si at den kun holder for reelle x-verdier større enn 0. Ekvivalensen du peker til, gjelder bare hvis ligninga på høyreside også har samme grunnmengde, dvs. at x også må være større enn 0 her. Hvis ikke er det bare implikasjon.

Litt usikker på hva begrepet grunnmengde innebærer, og wikipedia hadde ikke noe om den saken. Men jeg kan prøve å omformulere problemstillingen min, kanskje det gjør saken enklere:

La oss si at ligningen jeg *starter med* er

lg(x + 6) = lg x^2

Er x = -2 en godkjent løsning på denne? Hvis ikke, hvordan ser jeg det uten å omformulere den til lg(x +6) = 2 lg x?

Hvis x = -2 ER godkjent løsning, eller det er umulig å se at det ikke er godkjent løsning, så er jo regelen om at a lg b = lg b^a ugyldig!

k

01/12-2008 22:43

x = -2 er en godkjent løsning på den ligningen. Høyresida: [tex]\lg(-2 + 6) = \lg(4)[/tex] og venstresida: [tex]\lg((-2)^2) = \lg(4)[/tex]. Stemmer vel det?

kenewbie · 01/12-2008 22:49

Vektormannen wrote:x = -2 er en godkjent løsning på den ligningen. Høyresida: [tex]\lg(-2 + 6) = \lg(4)[/tex] og venstresida: [tex]\lg((-2)^2) = \lg(4)[/tex]. Stemmer vel det?

Jepp, det jeg også får til, og da får jeg ikke utsagnet om at a lg b = lg b^a til å stemme.

for vensteside = lg x^2 = 2 lg x

Det skal være riv ruskende likegyldig hvilken av de to formene du skriver der vel? de skal være like! men -2 er bare en løsning på en av dem..

Det er noe fundamentalt som går svosh over hodet mitt her er jeg redd.

k

01/12-2008 22:50

De er like hvis og bare hvis a > 0.

Edit: de, som i b * lg a og lg(a^b).

thebreiflabb · 01/12-2008 22:56

Vis vi har likningen din: lg(x + 6) = 2 lg x

Og vi setter inn x = (-2)

Hva er lg(-2)?

10 oppøyd i hvilket tall blir -2?

Ser du at det ikke går?

01/12-2008 23:00

Det som forvirrer han er vel det at x = -2 ikke er en løsning på den opprinnelige ligningen, mens det er en løsning hvis han skriver om 2 lg x til lg(x^2)?

kenewbie · 02/12-2008 09:36

Vektormannen wrote:De er like hvis og bare hvis a > 0.

Edit: de, som i b * lg a og lg(a^b).

Der tror jeg du har det som forvirra meg.

Regelen er ikke at b lg a = lg a^b, regelen er at b lg a = lg a^b når a > 0.

Så for å omrokkere på et utrykk av lg der du har en variabel så må du faktisk forutsette at variabelen > 0 for å i det heletatt kunne manipulere utsagnet!

Takk for tålmodighet vektormannen, det sank omsider inn.

k