Integral

[Eple]

Trenger en enkel løsning på dette integralet:

[tex] I= \int _{-r}^{r} y^2\cdot\sqrt{r^2-y^2}dy[/tex]

PS! har ikke lært om trigonometrisk substitusjon, så hvis det er veien å gå så er litt forklaring på sin plass, hehe.

[Charlatan]

Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

[espen180]

Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Du mener u=y^2?

(pirk da men)

[Charlatan]

Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Du mener u=y^2?

(pirk da men)

ja

[Eple]

Sett u=x^2, så skal du få et integral som kan løses med trigonometrisk substitusjon.

Jeg foreslår du leser denne:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution før du går videre med det.

Takker, det løste seg nå!

[Charlatan]

Men pass på svaret, det du har fått er ikke riktig for alle x.

Vil du skrive inn svaret du har fått?

[Eple]

Men pass på svaret, det du har fått er ikke riktig for alle x.

Vil du skrive inn svaret du har fått?

Setter [tex] y=r\cdot sin\theta[/tex]

Det gir at:
[tex] \frac{dy}{d\theta}=r\cdot cos\theta \rightarrow dy=r\cdot cos\theta d\theta[/tex]

Nye grenser blir:
Nedre: [tex] \theta=arcsin\frac{-r}{r}=\frac{-\pi}{2}[/tex]
Øvre: [tex] \theta=arcsin\frac{r}{r}=\frac{\pi}{2}[/tex]

Dette gir følgende integral:

[tex] \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^2 sin^2\theta\cdot\sqrt{r^2-r^2 sin^2\theta}\cdot r cos\theta d\theta[/tex]

Forenkler dette litt:
[tex]r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot\sqrt{1- sin^2\theta}\cdot cos\theta d\theta=r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot\sqrt{cos^2\theta}\cdot cos\theta d\theta=r^4 \int _{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} sin^2\theta\cdot cos^2\theta d\theta[/tex]
Dette integralet står i boka og løsningen er:
[tex] r^4\cdot[\frac{\theta}{8}-\frac{sin 4\theta}{32}]_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[/tex]

Beregner dette og får:
[tex] I=\frac{\pi r^4}{8}[/tex]

[Charlatan]

Fint.
Jeg kom forresten over en rar ting med dette integralet da jeg fant den antideriverte:

[tex]\int x^2 \sqrt{1-x^2} \rm{d}x = \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\arcsin(2x^2-1)}{16}+C[/tex]

Hvis man nå prøver å ta fra grensene x=-1 til x=1, får man at arealet er lik 0, som åpenbart er galt. Dette er rart i seg selv, men denne antideriverte gjelder tydeligvis for positive grenser. For negative grenser blir den antideriverte slik: (som jeg ikke er sikker på, men det ser slik ut ved eksperimentering på kalkulatoren, og gir mening med tanke på symmetrien til grafen til integranden om y-aksen)

[tex]\frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}-\arcsin(2x^2-1)}{16}+C[/tex]

(Denne gjelder med kalkulatorens output av funksjonen [tex]\arcsin x[/tex]
([tex]-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2}[/tex])
Er det noen som har en forklaring på dette?

[mrcreosote]

Trur du har integrert feil i utgangspunktet.

[Charlatan]

Trur du har integrert feil i utgangspunktet.

Det kan jeg ikke tro. Har tenkt en del på dette og har integrert flere ganger og derivert flere ganger. Dessuten ser det ut til å stemme veldig fint på kalkulatoren. Hvis man hadde satt [tex]\arcsin(2x^2-1)[/tex] til å gi output [tex]\pi-\arcsin(2x^2-1)[/tex] for negative x (som er begge (hva skal jeg si?) "gyldige" verdier) så hadde det vært riktig for negative grenser og.

Den første antideriverte jeg skrev har forresten et bruddpunkt i x=0.

Denne funksjonen
[tex]f(x) = \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}+\arcsin(2x^2-1)}{16} +C \ , \ x \geq 0 \\ \ \ \ \ \ \ \frac{2(2x^3-x)\sqrt{1-x^2}-\arcsin(2x^2-1)}{16} \ , \ x < 0[/tex]

...har det derimot ikke ved riktig valgt konstant C slik at den er kontinuerlig (som er [tex]-\frac{\pi}{16}[/tex] hvis jeg husker rett)

[mrcreosote]

Feilen din ligger som sagt i at du har integrert feil. Hvis du erstatter f(x)=arcsin(2x^2-1) med g(x)=2arcsin(x), stemmer det. Forskjellen er at den deriverte av f(x) er [tex]\frac{2\operatorname{sign}(x)}{\sqrt{1-x^2}}[/tex] mens den deriverte av g(x) er [tex]\frac2{\sqrt{1-x^2}}[/tex].

[Charlatan]

Hm, ok skal sjekke det.