Løs likningene når [tex]x [0, 2[/tex][symbol:pi][tex]>[/tex]
a) [tex]2sin(2x-\frac{pi}{12})=1[/tex]
b) [tex]3sin(x+\frac{pi}{4})-[/tex] [symbol:rot] 3 [tex]cos(x+\frac{pi}{4})=0[/tex]
a) Ved å løse likningen får jeg [tex]x=\frac{pi}{8}[/tex], og så setter jeg dette inn i grunnlikningen for sinus:
[tex]x=\frac{pi}{8}+n*2[/tex] [symbol:pi]
[tex]x=[/tex] [symbol:pi] [tex]-\frac{pi}{8}+ n*2[/tex] [symbol:pi] [tex]=\frac{7 pi}{8}+n*2[/tex] [symbol:pi]
Da ser jeg at bl.a. [tex]\frac{7 pi}{8}[/tex] er en løsning, men dette stemmer ikke med fasiten. Har jeg regnet feil her?
Trigonometrisk likning
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
a) Vi forenkler ligningen til [tex]sin(2x-\frac{\pi}{12})=\frac12[/tex]. Vi vet fra før at [tex]sin(a)=\frac12\Leftrightarrow a=\frac{\pi}{6}[/tex], ikke sant? Da setter vi opp en ny ligning, [tex]2x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{6}+k\cdot 2\pi\,,\,k\in\mathbb{Z}[/tex] som burde gi oss det riktige svaret. (Tilgi meg om jeg tar feil, en stund siden jeg så en slik ligning.)
b) Vi forenkler til [tex]\sqrt{3}sin(x+\frac{\pi}{4})-cos(x+\frac{\pi}{4})=0[/tex] Vi må finne en verdi for x slik at [tex]sin(a)=\sqrt{3}cos(a)[/tex]. Vi ser at [tex]cos(a)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] og [tex]sin(a)=\frac12[/tex] passer til tilfellet. Vi vet fra før at når sin eller cos får en av disse verdiene, får den andre den andre verdien. Vi setter [tex]cos(a)=\frac12\,,\,a=\frac{\pi}{3}[/tex]. Da får vi en helt ny ligning: [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k\cdot2\pi\,,\,k\in\mathbb{Z}[/tex]
(Igjen, tilgi meg om jeg tar feil, men jeg mener jeg har rett både på a) og b))
PS: Vi ser at oppgaven skal løses i intervallet [tex][0,2\pi>[/tex], så ignorer k-ene i ligningene mine. Jeg kan ikke huske skikkelig, men jeg tror begge av disse har to løsninger i det intervallet.[/tex]
b) Vi forenkler til [tex]\sqrt{3}sin(x+\frac{\pi}{4})-cos(x+\frac{\pi}{4})=0[/tex] Vi må finne en verdi for x slik at [tex]sin(a)=\sqrt{3}cos(a)[/tex]. Vi ser at [tex]cos(a)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] og [tex]sin(a)=\frac12[/tex] passer til tilfellet. Vi vet fra før at når sin eller cos får en av disse verdiene, får den andre den andre verdien. Vi setter [tex]cos(a)=\frac12\,,\,a=\frac{\pi}{3}[/tex]. Da får vi en helt ny ligning: [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+k\cdot2\pi\,,\,k\in\mathbb{Z}[/tex]
(Igjen, tilgi meg om jeg tar feil, men jeg mener jeg har rett både på a) og b))
PS: Vi ser at oppgaven skal løses i intervallet [tex][0,2\pi>[/tex], så ignorer k-ene i ligningene mine. Jeg kan ikke huske skikkelig, men jeg tror begge av disse har to løsninger i det intervallet.[/tex]
På oppgave b) ville jeg delt igjennom med [tex]2\sqrt 3[/tex]
Da blir likningen
[tex]\frac {\sqrt 3} 2 \sin \left( x + \frac \pi 4\right) - \frac 1 2 \cos \left( x +\frac \pi 4 \right) = 0[/tex]
Som igjen kan skrives som
[tex]\sin( \frac \pi 3 ) \sin \left( x + \frac \pi 4\right) - \cos(\frac \pi 3) \cos \left( x +\frac \pi 4 \right) = 0[/tex]
... og da begynner visse trigonometriske identiteter å ta form.
Da blir likningen
[tex]\frac {\sqrt 3} 2 \sin \left( x + \frac \pi 4\right) - \frac 1 2 \cos \left( x +\frac \pi 4 \right) = 0[/tex]
Som igjen kan skrives som
[tex]\sin( \frac \pi 3 ) \sin \left( x + \frac \pi 4\right) - \cos(\frac \pi 3) \cos \left( x +\frac \pi 4 \right) = 0[/tex]
... og da begynner visse trigonometriske identiteter å ta form.
alt løsning for b) siden innholdet i paranteserne er likt
er at omforme
[tex]3Sin(x+ \frac{\pi}{4}) +\sqrt{3} cos(x+\frac{\pi}{4}) =0[/tex]
til
[tex] Asin(cx+\phi)+d=0 [/tex]
[tex]A= \sqrt{3^2+\sqrt{3}^2} = 2\sqrt{3}[/tex]
så får du en likning hvor du kun har sin i den
[tex]2\sqrt{3} sin(x+\frac{\pi}{4})=0[/tex]
[tex](x+\frac{\pi}{4})=0+ n \cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi}{4} +n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac{7\pi}{4}[/tex]
(dette er samme fremgangsmåte a), når likningen er omformet
er at omforme
[tex]3Sin(x+ \frac{\pi}{4}) +\sqrt{3} cos(x+\frac{\pi}{4}) =0[/tex]
til
[tex] Asin(cx+\phi)+d=0 [/tex]
[tex]A= \sqrt{3^2+\sqrt{3}^2} = 2\sqrt{3}[/tex]
så får du en likning hvor du kun har sin i den
[tex]2\sqrt{3} sin(x+\frac{\pi}{4})=0[/tex]
[tex](x+\frac{\pi}{4})=0+ n \cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=-\frac{\pi}{4} +n\cdot 2\pi[/tex]
[tex]x=\frac{7\pi}{4}[/tex]
(dette er samme fremgangsmåte a), når likningen er omformet