Kombinatorikk, R1

[Auto-n00b]

Hei!

Har problemer med disse oppgavene som omhandler kombinatorikk:

1)

Hvor mange tresifrede tall kan vi lage med tallene 0, 2, 4 og 6?

2)

Av bokstavkombinasjonen S, I, N, U, S skal vi lage andre kombinasjoner ved å bytte om på rekkefølgen av bokstavene. Hvor mange ulike måter kan det gjøres på?

På oppgave 1 har jeg tenkt: Gitt at det ikke kan være desimaltall, så kan ikke tallet starte med 0 (være på formen 0xy), eller være på formen 00x eller 000. Dette omfatter følgende kombinasjoner:

1. 000
2. Tall på form 0xy, fant jeg 10 muligheter. F.eks. 024, 042 osv.
3. Tall på form 00x, fant jeg 3 muligheter => 002, 004 og 006

Totalt antall tresifrede tall hvis vi ignorer at tallet ikke kan starte på 0 eller de to første sifrene er 0 blir da 4[sup]3[/sup] = 64. Antall tresifrede tall når vi tar hensyn til 0 blir da 64 - 13 = 51.

Men dette stemmer ikke med fasiten.

På oppgave 2 står jeg bom fast.

På forhånd takk for eventuelle svar.

[MatteNoob]

Hvor mange tresifrede tall kan vi lage med tallene 0, 2, 4 og 6?

2)
Av bokstavkombinasjonen S, I, N, U, S skal vi lage andre kombinasjoner ved å bytte om på rekkefølgen av bokstavene. Hvor mange ulike måter kan det gjøres på?

Her har du et ordnet utvalg uten tilbakelegg. Klarer du det nå?

[Auto-n00b]

Hei, og takk for innspill til oppgave 2.

Det later til at oppgaven ikke er fullt så enkel (i alle fall ikke ifølge fasiten).

Regner en med ordnede utvalg med tilbakelegging får man jo 120 muligheter. Men slik jeg ser det blir dette problematisk fordi vi i S I N U S har to av bokstaven S, og følgelig vil en ikke kunne skille mellom kombinasjoner der de to S-ene opptrer like etter hverandre, f.eks. i S S I N U.

[Gommle]

Du kan jo ikke skille mellom SINUS og SINUS heller.

[Auto-n00b]

Du kan jo ikke skille mellom SINUS og SINUS heller.

Hei.

Nei, det er jo sant det du skriver, og det henspiller jo nettopp på argumentet mitt med at en ikke kan skille mellom de to S-bokstavene.

Edit: ser poenget i ditt argument, for uansett hvordan man stokker om på bokstavene har man jo de to S-bokstavene...

Poenget mitt er at man ikke får fasitsvaret ved å regne med ordnede utvalg uten tilbakelegging, som - etter slik jeg ser det/regner det - gir 120 muligheter.

Edit 2: Ok, så halvparten av de 120 mulighetene vil være like fordi vi har to av samme bokstav, her to av bokstaven S. Derved får vi kun 60 ulike kombinasjoner? Bifaller denne tankegangen?

Så om det er noe fiksfakseri med oppgaven eller om fasiten er feil er for meg totalt uvisst.

[2357]

Kan du ikke bare regne det ut som om det er kun ulike bokstaver og så dele svaret på 2?

[Auto-n00b]

Kan du ikke bare regne det ut som om det er kun ulike bokstaver og så dele svaret på 2?

Jo, jeg tror jeg "så lyset nå" (jamfør andre redigering i forrige innlegg).

Takk for fornuftige innspill!

Håper noen kan se på første oppgave også.

[2357]

0, 2, 4 og 6

0 kan ikke være det første sifferet.

Så går jeg utifra at man kan bruke samme siffer flere ganger i samme tall. Hvis det er feil får du si ifra.

Altså har vi 3 muligheter for første siffer, og fire for de to neste.

[tex]3\cdot{4^2}=48[/tex] mulige kombinasjoner bør være riktig.

[Auto-n00b]

Enig i tankegangen din 2357.

Takk skal du/dere ha for superb hjelp!

[Auto-n00b]

I stedet for å lage en ny tråd om samme emnet, slenger jeg inn et nytt kombinatorikk-spørsmål her:

"Hvor mange hele tall mellom 100 og 1000 har to ulike sifre?"

Jeg har selv tenkt som følger:

Gitt at tallene er X X Y. Disse kan forekomme i følgende rekkefølger:

X X Y

X Y X

Y X X

Det første tallet kan ikke være 0, så for det første tallet er det 9 muligheter. Hvis det første tallet er X og det har 9 mulige sifre, vil følgelig den andre X ha samme siffer. Sifferet Y har da også 9 muligheter (tallene 0, 1, 2, ... , 9 unntatt tallet som X ble).

Etter min tankegang blir antallet hele tall med to like siffer mellom 100 og 1000 lik:

9*9*3 = 243. Men dette stemmer ikke ifølge fasiten.

Takker og bukker (som alltid) for hjelpsomme innspill.

[BMB]

"Hvor mange hele tall mellom 100 og 1000 har to ulike sifre?"

Snakker vi tall som har akkurat to ulike siffer som 199, eller snakker vi tall som har to ulike siffer eller tre ulike siffer?

Hvis det står som du har formulert spørsmålet, hva sier fasiten?

[2357]

Jeg synes din fremgangsmåte virker fornuftig, bare at du har glemt å ta med 1000 som også oppfyller kravet. Men hva sier fasiten?

[Auto-n00b]

Fasiten sier 251 (kan jo hende læreboken er helt på jordet).

Kan ikke skjønne at man skal regne med 1000 da det for det første har fire siffer og for det andre spør oppgaven eksplisitt om tall mellom 100 og 1000 (da kan man jo for så vidt heller ikke regne med 100, slik jeg vel har gjort).

[Lars Sch]

Du kan jo ikke skille mellom SINUS og SINUS heller.

Hei.

Nei, det er jo sant det du skriver, og det henspiller jo nettopp på argumentet mitt med at en ikke kan skille mellom de to S-bokstavene.

Edit: ser poenget i ditt argument, for uansett hvordan man stokker om på bokstavene har man jo de to S-bokstavene...

Poenget mitt er at man ikke får fasitsvaret ved å regne med ordnede utvalg uten tilbakelegging, som - etter slik jeg ser det/regner det - gir 120 muligheter.

Edit 2: Ok, så halvparten av de 120 mulighetene vil være like fordi vi har to av samme bokstav, her to av bokstaven S. Derved får vi kun 60 ulike kombinasjoner? Bifaller denne tankegangen?

Så om det er noe fiksfakseri med oppgaven eller om fasiten er feil er for meg totalt uvisst.

Hvis man heller skriver SINUS om til S[1] I N U S[2] bør det bli mye klarere. Her ser vi at hvis bokstavene hadde vært ulike alle sammen, ville svaret blitt fakultet 5, dvs 5!. Men her har vi to "like bokstaver" og deler derfor på antallet av dem. Altså 5!/2!


Husk at vi ikke deler på antall S, men på fakultet av antall S. Hadde vi f. eks hatt S[1] I N U S[2] S[3] ville svaret vært 6! / 3! fordi vi har 6 bokstaver og 6 muligheter for S:

S[1] S[2] S[3]
S[1] S[3] S[2]
S[2] S[1] S[3]
S[2] S[3] S[1]
S[3] S[1] S[2]
S[3] S[2] S[1]

I den første oppgaven er jo 2! det samme som 2, men i det siste eksemplet ser vi at 3! er 6, altså 3*2*1, dvs svaret på SINUS ville vært 5!/2! og svaret på SINUSS ville vært 6!/3!.






En annen ting som er verdt å nevne er hvis du f. eks har ordet SINNUS. Her har vi to ganger to like bokstaver, det løser vi ved å dele fakulteten av antall bokstaver, som her er 6, på fakulteten av antall S, multiplisert med fakulteten av antall N. Altså i dette tilfellet ville det blitt 6! / 2!*2!.

[Auto-n00b]

Hei Lars Sch.

Jeg har kommet frem til den samme tankegangen mens jeg har løst oppgaver som er analog til den SINUS-oppgaven.


Er noen i form til å kommentere den siste oppgaven jeg har lagt inn (er fasiten feil)?