Roterende firkant

[espen180]

4 punkter beveger seg i en sirkel med radius 1 rundt origo. Alle punktene har farten [tex]V[/tex]. Ett av punktene beveger seg i motsatt retning enn de tre andre punktene. Når [tex]t=0[/tex], er punktene plassert som et kvadrat. Der A er arealet av firkanten mellom punktene, finn [tex]\frac{\rm{d}A}{\rm{d}t}[/tex]. La kantene av firkanten være faste linjer mellom to punkter, slik at de krysser hverandre etter punktene passerer hverandre.

EDIT:

Bonusoppgave:
Finn [tex]A(t)[/tex] til firkanten.

[Vektormannen]

Stemmer [tex]\frac{dA}{dt} = -2v \cdot \sin(2vt)[/tex] og [tex]A(t) = 1 + \cos(2vt)[/tex]?

[espen180]

Det stemmer. Hvordan gikk du fram?

[Vektormannen]

Vi lar A, B og C være punktene som går i samme retning med samme hastighet og D være punktet som går i motsatt retning med samme hastighet. Ved t = 0 lar vi punktene ha koordinater A = (0,1), B = (-1,0), C = (0,-1) og D = (1,0).

Siden A, B og C går i samme retning med samme hastighet, vil de aldri forandre avstand fra hvarandre langs sirkelbuen. Det eneste som vil variere arealet her er punktet Ds posisjon. Vi kan forenkle problemstillingen ved å la A, B og C ligge i ro. Da vil D ha farten 2v i forhold til disse punktene når de ligger i ro.

Koordinatene til D er til en hver tid (cos(2vt), sin(2vt)). Etter en tid t, mens D er på høyre side av y-aksen, har vi følgende situasjon:



Vi ser at arealet nå består av to trekanter. Trekant ABC har grunnlinje 1 og høyde 2 og har dermed arealet 1. Trekant ADC har grunnlinje 2, og høyden ser vi som den stipla linja som står vinkelrett på grunnlinja. Denne høyden er som vi ser lik x-koordinaten, som er cos(2vt). Det samlede arealet er altså [tex]A(t) = 1 + \cos(2vt)[/tex].

Hvis vi nå kan vise at samme uttrykk gjelder også når D er til venstre for y-aksen, er vi i mål med å finne et uttrykk for A(t) (mener i alle fall jeg ...)

Når D er til venstre for y-aksen har vi følgende situasjon:



Arealet av "firkanten" (de to trekantene med areal a og c) er her a + c. Men dette kan skrives som (a + b) - (b + c). a+b er arealet av ABC som fortsatt er 1, og b+c er arealet av trekant ADC. Siden D nå er til venstre for y-aksen, er x-koordinaten negativ. Dermed kan vi erstatte hele -(b+c) med [tex]\cos(2vt)[/tex], her også. Arealet kan altså igjen skrives som [tex]A(t) = 1 + \cos(2vt)[/tex].

Og dette gir [tex]\frac{dA}{dt} = -\sin(2vt) \cdot 2v = -2v \cdot \sin(2vt)[/tex]

Edit: fiksa noen småfeil ..

[espen180]

Strålende!

[FredrikM]

Veldig lærerikt!

Trekant ABC er en rettvinklet trekant med grunnlinje 1 og høyde 2 og har dermed arealet 1

Pirk, men trekant ABC er vel ikke rettvinklet? (består av to rettvinklede trekanter)

[Vektormannen]

Ah, takk

Rettet på det nå.

[espen180]

Veldig lærerikt!

Trekant ABC er en rettvinklet trekant med grunnlinje 1 og høyde 2 og har dermed arealet 1

Pirk, men trekant ABC er vel ikke rettvinklet? (består av to rettvinklede trekanter)

Er den ikke rettvinklet da? Thales' setning om jeg ikke tar feil.

[daofeishi]

Stemmer det - siden AC er diameter i sirkelen. Dette er et av de grunnleggende geometriske teoremene.

[FredrikM]

Trekanten ABC er ikke rettvinklet, men vinkelen ABC er det.

[mrcreosote]

Trekanten ABC er ikke rettvinklet, men vinkelen ABC er det.

Det heter altså rettvinkla trekant og rett vinkel.