annengradspolynom i inhomogen differenslikning

[daniero]

Hei,

Jeg har en andre ordens inhomogen differenslikning hvor høyre side av likhetstegnet er [tex]n^2+1[/tex] , og jeg er litt usikker på hva jeg skal gjøre når jeg skal finne den spesielle/partikulære løsningen [tex]x^s_n[/tex].


Jeg vet følgende...
- Hvis høyresiden av likningen var en konstant, kunne jeg prøvd/gjettet på at svaret i likningen var [tex]a[/tex] , og regnet videre.

- I f.eks. likningen [tex]x_{n+2} + 5x_{n+1} + 6x_n = n +2[/tex] kan jeg gjette på at [tex]x^s_n[/tex] er på formen [tex]an + b[/tex] ("karakteristisk polynom"), og sette inn dette og få:

[tex]x_{n+2} + 5x_{n+1} + 6x_n = a(n+2)+b + 5(a(n+1)+b) + 6(an+b)[/tex]

Deretter kan jeg regne ut dette videre og finne ut verdien av a og b.

...men jeg lurer på
hvordan blir det karakteristiske polynomet når høyresiden av likningen er [tex]n^2+1[/tex] ?

[tex]an^2+b[/tex] ?

hvordan setter jeg i så fall det inn i resten av likningen?

[tex]a(n^2+1) + b[/tex] osv..?

[tex]a(n+1)^2[/tex] osv..?

Hadde satt voldsomt pris på all hjelp

[fish]

Du må ha med alle lavereordens ledd også, slik at en partikulærløsning tar formen
[tex]x_n=an^2+bn+c[/tex]

Da vil man for eksempel ha

[tex]x_{n+1}=a(n+1)^2+b(n+1)+c[/tex]

[daniero]

Tusen takk, det hjalp en god del. Men jeg innså ganske fort at jeg fortsatt er litt på viddene... det er så mange ett-tall og to-tall her at jeg er litt usikker på hvilke som skal hvor.

Her er hele stykket:

[tex]x_{n+1}-\frac{3}{2}x_n+x_{n-1}=n^2+1[/tex] , [tex]n \geq1[/tex]

Jeg har gjort om dette til stykket nedenfor, uten at jeg egentlig vet om det er lov, og om det har noe særlig for seg:

[tex]x_{n+2}-\frac{3}{2}x_{n+1}+x_n=n^2+1[/tex] (*)


Og så er det dette karakteristiske polynomet da.

en partikulærløsning tar formen
[tex]x_n=an^2+bn+c[/tex]

Blir dette riktig?

(*) = [tex]a(n+2)^2+b(n+2)+c-\frac{3}{2}(a(n+1)^2+b(n+1)+c)+a(n)^2+b(n)+c[/tex]

[sveioen]

MAT1001 comrade ! Hvis det er noen trøst; jeg har gjort akkurat det samme. Håper bare det er riktig. Alt ser jo fint og greit ut.. Får fine tall i rekken og, så..

[daniero]

godt å høre. Fikk det omsider til jeg også, og alt ser ut til å stemme som bare det. Nå sitter jeg fast på oppg 2a, og det er 11 timer til leveringsfrist. skulle ønske jeg hadde fått med meg litt flere forelesniger nå ja...