Samling: rekke-problemer! ...

[mathme]

Denne oppgaven (c) klarte ingen av realfag-lærerne mine. (De måtte se på den hjemme)..

[Bilde av pyramidetallene (trenger ikke)]

a) Pyramidetallene danner tallfølgen [tex]p_1, p_2, p_3,...[/tex]
Skriv opp de fem første leddene i denne tallfølgen.

[tex]1+5+14+30+55+91...[/tex] (dette er riktig, sjekket fasiten)

b) Forklar at [tex]p_n = 1+4+9+...+n^2[/tex]

Vel, vi ser at rekka [tex]1+5+14,...[/tex] øker med kvadrattallene, altså [tex]a_n = a_{n-a}+n^2[/tex].

Vi ser her at [tex]1+4 = 5[/tex] , altså
[tex]1+2^2 = 5[/tex]
[tex]1+2^2+3^2=14[/tex]

osv...

c)

Finn [tex]p_{50}[/tex] og [tex]p_{100}[/tex].

Her må vi finne altså en ekslisitt formel som beskriver summen av rekka,
eller en eksplisitt formel som beskriver selve tallfølgen(og finne summen etterpå/kalkulator) ?

En måte å beskrive tallfølgen på er jo:

[tex]1+(n-1)^2+(n-3)^2+(n-4)^2+...(n-n)^2[/tex]

Jeg klarer på ingen måter å komme videre, men det jeg har skrevet der oppe er vel riktig start ? Kan noen hjelpe meg ? Tusen hjertelig takk.

[2357]

Summen av kvadrattallene fra 1 til n^2 er [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].

[mathme]

Summen av kvadrattallene fra 1 til n^2 er [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].

Tusen Hjertelig takk, 2357. Nå kan jeg få det til.

[daofeishi]

[tex]\sum_{k=1}^nk^2 = \frac 1 3 \sum _{k = 1}^n \left( k^3 - (k-1)^3\right) + \sum _{k=1}^nk - \frac 1 3 \sum _{k=1}^n 1 = \frac 1 3 n^3 + \frac1 2 n (n+1) - \frac 1 3 n = \frac 1 6 n(n+1)(2n+1)[/tex]

[mathme]

Tusen hjertelig takk daofeishi, og 2357 !

Nå fikk jeg det til, det er simpelten summen av kvadrattallene.
Vanskeligere er det ikke altså. Tusen takk


FORRESTEN:

Vet dere om noen nettsider med en samling av slike nyttige ting ? Som summen av kvadrattallene eller trekanttallene(som jeg kan), pyramidetallene osv osv...

[2357]

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Figurate_numbers dekker i hvertfall noe.

[mathme]

http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Figurate_numbers dekker i hvertfall noe.

TUSEN TAKK, det var fantastisk.

[mathme]

Enda et problem

Jeg skal finne en eksplisitt formel for denne her:

10,15,21,28...210

10+(0,5,11,18...)

Men, hva er 0,5,11,18.. hvilke tall er disse ? Hvordan kan jeg beskrive dem ?

[2357]

0+5=5
5+6=11
11+7=18

[mathme]

0+5=5
5+6=11
11+7=18

Ja, Men hvordan beskrive dette med eksplisitt formel ?

Altså, 5,6,7,8,9... er jo økningen.

[mathme]

Gjerne:

I eksplitte formler beskriver vi sammenhengen mellom leddnummeret og selve leddet i tallfølgen.
Vi kan altså regne ut a(n) når vi kjenner n.

[2357]

Kan du ikke bare endre litt på formelen for trekanttall slik at du "dropper" 1,3 og 6?

Som [tex]\frac{(n+3)(n+4)}{2}[/tex]

[mathme]

Kan du ikke bare endre litt på formelen for trekanttall slik at du "dropper" 1,3 og 6?

Som [tex]\frac{(n+3)(n+4)}{2}[/tex]

Du har 100% rett, det er bare jeg som ikke så det.

Tusen takk 2357