La a,b,c være reelle tall, vis at:
[tex]7(a^4+b^4+c^4)+10(a^3b+b^3c+c^3a) \geq 0[/tex]
Syklisk ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hm, ble litt usikker siden min ulikhet ikke ble så skarp, men du får bare påpeke eventuelle feil.
Ulikheten vi skal vise blir:
[tex]7(a^4+b^4+c^4)+10(a^3b+b^3c+c^3a) \geq 7(a^4+b^4+c^4)+10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)} \geq 0[/tex]
Cauchy-ulikheten gjelder selv for negative tall. Nå kan vi dele med [tex]\sqrt{a^4+b^4+c^4}[/tex] på begge sider av ulikheten siden det alltid er positivt.
Da blir ulikheten vår
[tex]7\sqrt{a^4+b^4+c^4}+10\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2} \geq 0[/tex]
Men [tex]\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2} \geq \frac{ab+bc+ac}{\sqrt{3}}[/tex] selv for negative tall.
Da må vi bevise at [tex]7\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\frac{10}{\sqrt{3}}(ab+bc+ac) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4}+2(ab+bc+ac) \geq 0 [/tex]
Nå må vi bare vise at [tex]\frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4} \geq a^2+b^2+c^2[/tex] for å bevise ulikheten, siden vi transformerer ulikheten til [tex](a+b+c)^2 \geq 0[/tex] i tilfellet.
Vi har at [tex]\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \Rightarrow \frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4} \geq \frac{7}{5}(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2[/tex] og vi er ferdige.
Det ble en kraftig ulikhet i slutten, så kan godt være jeg gjorde en feil et sted.
Likhet hvis og bare hvis [tex]a=b=c=0[/tex]
Ulikheten vi skal vise blir:
[tex]7(a^4+b^4+c^4)+10(a^3b+b^3c+c^3a) \geq 7(a^4+b^4+c^4)+10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2)} \geq 0[/tex]
Cauchy-ulikheten gjelder selv for negative tall. Nå kan vi dele med [tex]\sqrt{a^4+b^4+c^4}[/tex] på begge sider av ulikheten siden det alltid er positivt.
Da blir ulikheten vår
[tex]7\sqrt{a^4+b^4+c^4}+10\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2} \geq 0[/tex]
Men [tex]\sqrt{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2} \geq \frac{ab+bc+ac}{\sqrt{3}}[/tex] selv for negative tall.
Da må vi bevise at [tex]7\sqrt{a^4+b^4+c^4}+\frac{10}{\sqrt{3}}(ab+bc+ac) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4}+2(ab+bc+ac) \geq 0 [/tex]
Nå må vi bare vise at [tex]\frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4} \geq a^2+b^2+c^2[/tex] for å bevise ulikheten, siden vi transformerer ulikheten til [tex](a+b+c)^2 \geq 0[/tex] i tilfellet.
Vi har at [tex]\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \Rightarrow \frac{7\sqrt{3}}{5}\sqrt{a^4+b^4+c^4} \geq \frac{7}{5}(a^2+b^2+c^2) \geq a^2+b^2+c^2[/tex] og vi er ferdige.
Det ble en kraftig ulikhet i slutten, så kan godt være jeg gjorde en feil et sted.
Likhet hvis og bare hvis [tex]a=b=c=0[/tex]
Sorry mac, Cauchys ulikhet går desverre motsatt vei 
(dessuten er [tex]7(a^4+b^4+c^4)+10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}[/tex] opplagt "nonegative" da:[tex]7(a^4+b^4+c^4) \geq 0[/tex] og[tex]10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2 +(ca)^2)} \geq 0[/tex]...)
Litt vrien denne her
(dessuten er [tex]7(a^4+b^4+c^4)+10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2+(ca)^2)}[/tex] opplagt "nonegative" da:[tex]7(a^4+b^4+c^4) \geq 0[/tex] og[tex]10\sqrt{(a^4+b^4+c^4)((ab)^2+(bc)^2 +(ca)^2)} \geq 0[/tex]...)
Litt vrien denne her
selvfølgelig, en flau feil der. Skal se videre på den i dag-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det var en merkelig sak det her. Pumper du opp ei løsning, Zivert?