Integrasjon av en brøk.

[chrfin]

Har matematikk R2, og vi har nettopp begynt med integrasjon. Ikke le, men hvordan integrerer man dette:

[symbol:integral] 1/(x+1)


Håper noen kan forklare skritt for skritt

[Olorin]

Benytt variabelskifte (kalles også substitusjon)

Se i læreboka for eksempler

[chrfin]

Jeg hadde jo ikke spurt her dersom det sto forklart i læreboka hvordan slike oppgaver løses. Vær så snill, kan noen forklare skritt for skritt hvordan man gjør? Altså vise utregningen og forklare?

[Vektormannen]

Innfør u = x + 1 og integrer med hensyn på u:

[tex]\int \frac{1}{x + 1} dx = \int \frac{1}{u} du[/tex]

Kjenner du igjen den antideriverte til [tex]\frac{1}{u}[/tex]? Altså, hva må deriveres for å få [tex]\frac{1}{u}[/tex]?

[chrfin]

Aha! Det var et bedre hint. Vi har jo regelen [symbol:integral] 1/x dx = ln |x| + C

Derfor når vi setter x+1 = u får vi, som du sa, [symbol:integral] 1/u du,
og da er det jo bare å bruke regelen rett fram..

Takk for hjelpen!

[Olorin]

Står nok godt forklart i læreboka. Men benytt også søkefunksjonen på forumet.

Søker du etter "Substitusjon integrasjon" så vil du nok lære deg å mestre denne teknikken iløpet av 30 minutter

[chrfin]

En oppgave videre:

[symbol:integral] [tex]\frac 1{2x+1}= [/tex]

Ble litt satt ut når var 2x under brøken. Hvordan bruker jeg da denne u'en? Hva setter jeg u lik?

[ettam]

[tex]\int f(ax+b) dx = F(ax+b)+C[/tex]

[Vektormannen]

Husk at [tex]\int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx[/tex].

[tex]\int \frac{1}{2x + 1}dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + \frac{1}{2}}dx[/tex]

[chrfin]

Er ikke så skarpt i integrasjon ennå, så den forstod jeg ingenting av. Dere tror kanskje at jeg helle spør her fordi jeg ikke gidder lese i matteboka, men under i avsnittet med disse oppgavene, står det kun forklart hvordan man løser integrasjonsoppgaver av typen: [symbol:integral] [tex]\frac 1{x}[/tex]

[chrfin]

Tenkte litt videre, og prøvde meg på dette:

[symbol:integral] [tex]\frac 1{2x+1}[/tex] Setter u = 2x+1, og får:

[symbol:integral] [tex]\frac 1{u}[/tex]

Gjør som vanlig og får:

ln|2x + 1| + C men det blir feil.. Hva gjør jeg galt?

[Vektormannen]

Se mitt innlegg.

[chrfin]

Jeg forstår ikke ditt innlegg, Vektormannen. Vi har ikke lært integrasjonsregning på den måten.

[Olorin]

Helt korrekt at du substituerer 2x+1

[tex]I=\int \frac1{2x+1}\rm{d}x[/tex]

[tex]u=2x+1,\,\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x}=2,\,\ \rm{d}x=\frac{\rm{d}u}{2}[/tex]

[tex]\int \frac1{u}\frac{\rm{d}u}{2}[/tex]

Dermed

[tex]I=\frac12\int\frac1{u}\rm{d}u[/tex]

[tex]I=\frac12\ln|u|+C=\frac12\ln|2x+1|+C[/tex]