Periodiske funksjoner 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Finn volumet av omdreiningslegemet vi får når vi dreier grafen til

[tex]f(x) = 0.5\cos(x) + 1[/tex] for [tex]0\leq x \leq 2\pi[/tex]

om x-aksen.

Vi får: [tex]\pi \cdot \int_0^{2\pi}\left(\, \left(f(x)\right)^2 \, \right)\rm{d}x[/tex]

Derfor skriver jeg om integranden først:
[tex]\left(0.5\cos(x)+1\right)^2 = \left(0.5\cos(x)+1\right)\left(0.5\cos(x)+1\right) =\underline{ 0.25\cos^2(x) + \cos(x) + 1}[/tex]

Vi observerer videre at:
1) [tex]0.25\cos^2 x \;\Longrightarrow^{\text{enhetsformelen}} \; \frac 14\left(1-\sin^2(x)\right)[/tex]

Vi vet også at: [tex]\cos(2x) = 1-2\sin^2(x)[/tex] Vi vil finne et uttrykk for [tex]\sin^2(x)[/tex] og sette dette inn i 1. - Slik:

[tex]\cos(2x)=1-2\sin^2(x) \\ \, \\ 2\sin^2(x) = 1-\cos(2x) \\ \, \\ \sin^2(x) = \underline{\frac 12 - \frac 12 \cos(2x)}[/tex]

Vi setter inn i 1:
[tex]\frac 14\left(1-\left(\frac 12 - \frac 12 \cos(2x)\right)\right) = \frac 14\left(\frac 12+\frac 12\cos(2x)\right) = \underline{ \frac 18 + \frac 18 \cos(2x)}[/tex]

Dette setter vi også inn i integranden.
[tex]\left(\frac 18 + \frac 18 \cos(2x)\right)+ \cos(x) + 1 =\underline{ \frac 18\cos(2x)+\cos(x)+\frac 98}[/tex]

Vi er endelig klare til å integrere, hehe.

[tex]\pi \cdot \int_0^{2\pi}\left(\, \frac 18\cos(2x)+\cos(x)+\frac 98 \, \right)\rm{d}x = \left[\pi\left(\frac{1}{16}\sin(2x)+\sin(x)+\frac{9}{8}x\right)\right]_0^{2\pi} =F(2\pi)-F(0) = \\ \, \\ \pi\left(\frac{1}{16}\sin(2\cdot 2\pi)+\sin(2\pi)+\frac{9}{8}\cdot 2\pi\right) - 0 = \pi\left(\frac{1}{16}\cdot 0 +0+\frac{18\pi}{8}\right) = \underline{\underline{\; \frac{9\pi}{4}\; }}[/tex]

[Janhaa]

Grafen til:
[tex]y=e^{-x}\cdot \sin(2x) \;\;\; x\in\left[0,\, 2\right][/tex]
og x-aksen avgrenser et område over x-aksen. Regn ut arealet av dette området.

[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x[/tex]
Vi bruker delvis integrasjon og setter:
[tex]u\prime = e^{-x} \;\;\;\;\;\;\; u = -e^{-x} \\ \, \\ v\prime = 2\cos(2x) \;\;\; v = \sin(2x)[/tex]
1)[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) - \int_0^2\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

jeg tror du har fortegnsfeil helt til høyre, slik at
1)[tex]I=\int\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) + \int\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

Vi bruker delvis integrasjon igjen, dermed;
[tex]u\prime = e^{-x} \;\;\;\;\;\;\; u = -e^{-x} \\ \, \\ v\prime = -4\sin(2x) \;\;\; v = 2\cos(2x)[/tex]
2)[tex]\int_0^2\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x = -2e^{-x}\cos(2x) -\left(-4\int_0^2\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x\right)[/tex]

også helt til høyre her, slik at
2)[tex]\int\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x = -2e^{-x}\cos(2x) -\left(4\int\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x\right)[/tex]


endelig:
[tex]I=-e^{-x}\sin(2x)\,-\,2e^{-x}\cos(2x)\,-\,4I[/tex]

[tex]I=-\frac {1}{5} e^{-x}((2\cos(2x)+\sin(2x))[/tex]

[MatteNoob]

Tusen hjertlig takk for at du gadd å se gjennom det jeg hadde gjort der, Janhaa. Jeg skjønte hvorfor det ble feil nå. :]

[Janhaa]

Tusen hjertlig takk for at du gadd å se gjennom det jeg hadde gjort der, Janhaa. Jeg skjønte hvorfor det ble feil nå. :]

Bare hyggelig H.
Du legger så mye flid i arbeidet, så det er vel fortjent.

[MatteNoob]

Det var trivelige ord å høre :]

Finn integralene

a)
[tex]2\int \tan(0.5x) \rm{d}x[/tex]

[tex]u = 0.5x \\ \, \\ \rm{d}u=0.5\, \rm{d}x[/tex]

[tex]2\cdot 2 \int \tan(u)\cdot 0.5\rm{d}x = 4\int \tan(u) \rm{d}u = 4\cdot \int \left(\frac{\sin u}{\cos u}\right)\rm{d}u[/tex]

Vi har integralet nedenfor, og bruker igjen substitusjon;
[tex]4\int \frac{\sin u}{\cos u}\rm{d}u[/tex]

[tex]w = \cos u \\ \, \\ \rm{d}w = -\sin u\, \rm{d}u[/tex]

[tex]4\int \frac{-\rm{d}w}{w}\rm{d}u = 4\int \frac{-1}{w}\cdot \rm{d}w \cdot \rm{d}u = -2\cdot \int \frac 1w \rm{d}w = -4\ln |w|[/tex]

Som gir;

[tex]-4\ln | \cos(0.5x) |[/tex]

b)
[tex]\int2\tan(5x+\pi)\rm{d}x[/tex]

[tex]u =5x+\pi \\ \, \\ \frac{\rm{d}u}{\rm{d}x} = 5 \\ \, \\ \, \\ 2\cdot \frac 15 \cdot \int\tan(u)\rm{d}u = -\frac 25 \ln\left|\cos\left(5x+\pi\right)\right| + \rm{C}[/tex]

c)
[tex]\int(\tan^2 x)\rm{d}x = \int \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \rm{d}x= \int \frac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x}\rm{d}x = \int \frac{1}{\cos^2 x} -\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} \rm{d}x = \int\left(\frac{1}{\cos^2 x} - 1\right)\rm{d}x = \tan x - x + \rm{C}[/tex]

d)
[tex]\int \cos^2 x \rm{d}x[/tex]

Skriver om integranden:
[tex]\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}[/tex]

[tex]\frac 12 \int 1+\cos(2x)\rm{d}x = \frac 12\left(x+\frac 12\sin(2x)\right) + \rm{C}[/tex]

e)
[tex]\int\left(\cos^{-2}(4x)\right)\rm{d}x = \int\left(\frac{1}{\cos^2(4x)}\right)\rm{d}x = \int(1+\tan^2(4x))\rm{d}x = \int\left(1+\frac{\sin^2 (4x)}{\cos^2(4x)}\right)\rm{d}x = \\ \, \\ \int\left( 1+ \frac{1}{\cos^2 (4x)} - \frac{\cos^2(4x)}{\cos^2(4x)}\right)\rm{d}x = \int\left(\cancel 1 \frac{1}{\cos^2(4x)} - \cancel 1 \right)\rm{d}x = \int\left(\frac{1}{\cos^2(4x)}\right)\rm{d}x = \frac 14 \tan(4x)+\rm{C}[/tex]