Periodiske funksjoner 3MX, jeg løser

[MatteNoob]

Her begynner avsnittet om derivasjon av trigonometriske funksjoner

Finn f'(x) når:

a)
[tex]f(x)= 3\sin(x) \\ \, \\ f\prime(x) = 3 \cdot (\sin(x))\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 3\cos(x)[/tex]

b)
[tex]u = 3x\;\; u\prime = 3[/tex]

[tex]f(x)=-\cos(3x) \\ \, \\ f\prime(x) = (-1) \cdot \left(\cos(u)\right)\prime \cdot u\prime \\ \, \\ f\prime(x) = (-1)\cdot (-\sin(u))\cdot u \\ \, \\ f\prime(x) = u\sin(u) \\ \, \\ f\prime(x) = 3\sin(3x)[/tex]

c)
[tex]f(x) = 2\cos(\pi x)-\sin(\frac x4)[/tex]

[tex]u = \pi x \;\;\; u\prime = \pi \\ \, \\ v = \frac x4 \;\;\; v\prime = \frac {1}{4}[/tex]

[tex]2\cdot (\cos(u))\prime \cdot u\prime - (\sin(v))\prime \cdot v\prime \\ \, \\ 2\cdot -\sin(u)\cdot u\prime - \cos(v)\cdot v\prime[/tex]

[tex]f(x) = -2\pi\sin(\pi x) - \frac 14 \cos\left(\frac x4\right)[/tex]

d)
[tex]f(x) = 4\sin^3(2x)[/tex]

[tex]u = \sin(2x) \;\; u\prime \cos(2x) \\ \, \\ w=2x \;\; w\prime = 2[/tex]

[tex]f\prime(x) = 4 \cdot (u^3)\prime \cdot u\prime \cdot w\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 4 \cdot 3u^2 \cdot \cos(w) \cdot 2 \\ \, \\ f\prime(x) = 24\cdot \sin^2(2x)\cdot \cos(2x)[/tex]

edit: rettet en leif.

[MatteNoob]

Posisjonen til et lodd som henger i en elastisk fjær, er gitt ved:

[tex]h(t) = 4.7\cos(1.3t)[/tex]

der h(t) meter er høyden over likevektslinja etter t sekunder.

a) Finn et uttrykk for farten v(t) til loddet. Hva er den største farten til loddet?

b) Finn et uttrykk for akselerasjonen a(t). Hva er den største akselerasjonen til loddet?

a)
[tex]v(t) = h\prime(t) \\ \, \\ v(t) = 4.7 \cdot \left(\cos(1.3t)\right)\prime \cdot (1.3t)\prime \\ \, \\ v(t) = -6.1\sin(1.3t)[/tex]

Farten er størst når:
[tex]\sin(1.3t) = -1 \\ \, \\ v(t) = -6.1\cdot(-1) = \underline{\underline{6.1 \text{ m/s}}}[/tex]

b)
[tex]a(t) = v\prime(t) = h\prime \prime (t)[/tex]

[tex]a(t) = -6.1 \cdot \left(\sin(1.3t)\right)\prime \cdot (1.3t)\prime \\ \, \\ a(t) = -7.9\cos(1.3t)[/tex]

Den største akselerasjonen til loddet er når:
[tex]\cos(1.3t) = -1 \\ \, \\ a(t) = -7.9\cdot(-1) = \underline{\underline{7.9\text{ m/s^2}}}[/tex]

[MatteNoob]

Gitt funksjonen:

[tex]s(x) = 3\cos(5t) +4\sin(5t)[/tex]

a) Finn s''(t)

b) Vis at s''(t) er proporsjonal med s(t)

a)
[tex]s\prime(t) = 3\cdot (\cos(5t))\prime \cdot (5t)\prime + 4\cdot (\sin(5t))\prime \cdot (5t)\prime \\ \, \\ s\prime(t) = 20\cos(5t)-15\sin(5t)[/tex]

og:

[tex]s\prime\prime(t) = 20 \cdot (\cos(5x))\prime \cdot (5t)\prime - 15\cdot (\sin(5t))\prime \cdot (5t)\prime \\ \, \\ \underline{\underline{s\prime\prime(t) = -100\sin(5t)-75\cos(5t)}}[/tex]

b)
Vi setter proporsjonalitetsfaktoren k:
[tex]k=\frac{\sqrt{(-75)^2+(-100)^2}\sin\left(5t+\arctan(\frac{-75}{-100})\right)}{\sqrt{4^2 + 3^2}\sin\left(5t+\arctan(\frac 34)\right)} = \frac{125\cancel{\sin}\cancel{\left(5t+\arctan(\frac 34)\right)}}{5\cancel{\sin}\cancel{\left(5t+\arctan(\frac 34)\right)}} = \frac{125}{5} = \underline{\underline{25}}[/tex]

[MatteNoob]

Finn f'(x) når:

a)
[tex]f(x) = -2\tan x \\ \, \\ f\prime(x) = -2 (\tan x)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = -2(1+\tan^2 x)[/tex]

b)
[tex]f(x) = 5\tan(1.8x) \\ \, \\ f\prime(x) = 5\cdot (\tan(1.8x))\prime \cdot (1.8x)\prime \\ \, \\ f\prime(x)=\frac{9}{cos^2(1.8x)}[/tex]

Alternativt:

[tex]f\prime(x) = 5\cdot (1+\tan^2(1.8x))\cdot 1.8 \\ \, \\ f\prime(x) = 9\left(1+\tan^2(1.8x)\right)[/tex]

c)
[tex]f(x) = \tan^2(2x)[/tex]

[tex]f\prime(x) = (\tan^2(2x))\prime \cdot (\tan(2x))\prime \cdot (2x)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 2\tan(2x) \cdot (1+\tan^2(2x)) \cdot 2 \\ \, \\ f\prime(x) = 4\tan(2x)\left(1+\tan^2(2x)\right) \\ \, \\ f\prime(x) = 4\tan(2x) + 4\tan^3(2x)[/tex]

Alternativt:

[tex]f(x) = \tan^2(2x) \\ \, \\ f\prime(x) = \left(\tan^2(2x)\right)\prime \cdot \left(\tan(2x)\right)\prime \cdot \left(2x\right)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 2\cdot \tan(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 \\ \, \\ f\prime(x) = \frac{4\tan(2x)}{\cos^2(2x)}[/tex]

d)
[tex]f(x) = \sin^2(3x)+\cos^2(3x)[/tex]

Husk at: [tex]\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1[/tex]

Dermed blir:

[tex]f(x) = \sin^2(3x) + \cos^2(3x) = \underline(1) \\ \, \\ f(x) = 1 \\ \, \\ f\prime(x) = (1)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 0[/tex]

PS: Takk for PM med rettelse i deloppgave d) FredrikM :]

[MatteNoob]

Deriver funksjonene

a)
[tex]f(x) = x^2 \cdot \sin(3x) \\ \, \\ f\prime(x) = (x^2)\prime \cdot \sin(3x) + x^2 \cdot (\sin(3x))\prime \cdot (3x)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 2x\cdot \sin(3x) + 3x^2\cdot \cos(3x)[/tex]

b)
[tex]f(x) = e^x \cos(2x) \\ \, \\ f\prime(x) = (e^x)\prime \cdot \cos(2x) + e^x \cdot \left(\cos(2x)\right)\prime \cdot (2x)\prime \\ \, \\ f\prime(x)=e^x \cdot \cos(2x) -2e^x \cdot \sin(2x) \\ \, \\ f\prime(x) = \left(\cos(2x)-2\sin(2x)\right)e^x[/tex]

c)
[tex]f(x) = \tan^2(x^2) \\ \, \\ f\prime(x) = \left(\tan^2(x^2)\right)\prime \cdot \left(\tan(x^2)\right)\prime \cdot (x^2)\prime \\ \, \\ f\prime(x) = 2\tan(x^2)\cdot \frac{1}{\cos^2(x^2)} \cdot 2x \\ \, \\ f\prime(x) = \frac{4x\cdot \tan(x^2)}{\cos^2(x^2)}[/tex]

Alternativt:

[tex]f\prime(x) = 2\tan(x^2)\cdot \left(1+\tan^2(x^2)\right)\cdot 2x \\ \, \\ f\prime(x) = 4x\tan(x^2)\left(1+\tan^2(x^2)\right)[/tex]

d)
[tex]i(x) = \ln(\sin x) \\ \, \\ i\prime(x) = (\ln(\sin x))\prime \cdot (\sin x)\prime \\ \, \\ i\prime(x) = \frac {1}{\sin x} \cdot \cos x \\ \, \\ i\prime(x) = \frac{\cos x}{\sin x}[/tex]

e)
[tex]j(x) = \sin\left(\pi -\cos(x)\right) \\ \, \\ j\prime(x) = \left(\sin\left(\pi - \cos(x)\right)\right)\prime \cdot \left(\pi - \cos(x)\right)\prime \\ \, \\ j\prime(x) = \cos\left(\pi - \cos(x)\right) \cdot (-1)(-\sin(x)) \\ \, \\ j\prime(x) = \cos(\pi-\cos(x))\sin(x) [/tex]

[MatteNoob]

a) Finn f'(x) når

[tex]f(x) = 6.5\sin\left(0.0172x-1.3683\right) + 12.2[/tex]

der f(x) er dagslengden i Moss og x er antall dager etter 31. desember. Funksjonen har forøvrig ingenting å gjøre med den motbydelige lukten i den byen.

b) Hva blir f'(50) og hvordan vil du tolke svaret?

c) For hvilke verdier av x er f'(x) størst? Tolk svaret.

a)
[tex]f(x) = 6.5\sin\left(0.0172x-1.3683\right) + 12.2 \\ \, \\ f\prime(x) = 6.5 \cdot \left(\sin\left(0.0172x-1.3683\right)\right)\prime \cdot \left(0.0172x-1.3683\right)\prime + (12.2)\prime \\ \, \\ f\prime(x) =6.5\cdot 0.0172 \cdot \cos(0.0172x-1.3683) \\ \, \\ f\prime(x) = 0.1118\cos\left(0.0172x-1.3683\right)[/tex]

For en forferdelig stygg funksjon....

b)
[tex]f\prime(50) = 0.1118\cos\left(0.0172 \cdot(50) -1.3683\right) \\ \, \\ f\prime(50) = 0.1118\cos\left(-0.5083\right) \\ \, \\ f\prime(50) \approx \underline{0.0977} [/tex]

Jeg antar at de snakker om dagslengden i timer her, uten å ha gjort noen kalkulasjoner.

[tex]0.0977 \cdot 60 \approx \underline{5.9\text{ minutter/24t}}[/tex]

Jeg tolker at dagen blir ca 5.9 minutter lengre etter den 50-ende dagen i dette året.

c)
Den deriverte er størst når [tex]\cos(0.0172x-1.3683) = 1[/tex]

[tex]f\prime(x) = 0.1118 \cdot (1) = \underline{0.1118} \cdot 60 \approx \underline{6.7\text{ minutter/24t}}[/tex]

Da øker dagslengden med 6.7 minutter/døgn. Vi finner følgende:

[tex]0.0172x-1.3683 = \arccos(1) \\ \, \\ x = \frac{1.3683+2k\pi}{0.0172} \\ \, \\ x \approx 79.56 + 116.28k\pi \;\;\;k\in\mathbb{Z}[/tex]

Men dette gjelder kun for k=0, ellers er vi inne i et nytt år. Dermed øker dagslengden fortest etter ca dag nr 79.56 [symbol:tilnaermet] 80

[MatteNoob]

a) Tegn grafen til nedenfor på lommeregneren.

[tex]y = x+\sin x \;\;\; x\in\left[0, \, 4\pi\right][/tex]

b) Bruk den deriverte til å vise at grafen ikke har noen topp- og bunnpunkt.

a)


b)
[tex]y\prime = (x)\prime + \left(\sin x\right)\prime \\ \, \\ y \prime = 1+\cos x[/tex]

Vi setter:
[tex]y\prime = 0 \\ \, \\ 1+\cos x = 0 \\ \, \\ \cos x = -1 \\ \, \\ x = \arccos(-1) \\ \, \\ x = \pi +2k\pi \;\;\; k\in\mathbb{Z}[/tex]



Dette er jeg usikker på (kommentarer/tolkninger er sårt ønsket)
Vi ser at den deriverte tangerer x-aksen for x-løsningen ovenfor. På tross av at den deriverte er 0 i disse punktene stiger f(x) videre, og vi kan derfor ikke definere om det er et bunn- eller toppunkt vi har.

[MatteNoob]

Regn ut koordinatene til topp- og bunnpunktene på grafen til:[tex]y = e^{-x}\cdot \sin(2x) \;\;\; x\in\left[0, \, 2\pi\right][/tex]

[tex]y= \frac{\sin(2x)}{e^x} \\ \, \\ y\prime = \frac{\left(\sin(2x)\right)\prime \cdot (2x)\prime \cdot e^x - (e^x)\prime \cdot \sin(2x)}{(e^x)^2} \\ \, \\ y\prime = \frac{2\cancel{e^x}\cos(2x) - \cancel{e^x}\cdot \sin(2x)}{(e^x)^{\cancel 2}} \\ \, \\ y\prime = \left(2\cos(2x)-\sin(2x)\right)e^{-x}[/tex]

Toppunkter:
x-koordinater:
[tex]2\cos(2x)-\sin(2x) = 0\cdot e^{-x} \\ \, \\ 2\cos(2x) = \sin(2x) \\ \, \\ \frac{2\cos(2x)}{2\cos(2x)} = \frac{\sin(2x)}{2\cos(2x)} \\ \, \\ \, \\ \frac 12 \tan(2x) = 1 \\ \, \\ \tan(2x) = \frac{1}{\frac 12} \\ \, \\ 2x = \arctan(2) \\ \, \\ x = \frac{\arctan(2) +k\pi}{2}[/tex]

[tex]\rm{P}_{\text{toppunkter}=\left(\frac{\arctan(2)+k\pi}{2},\; e^{-x}\right)[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{P_{k_0}=(0.55, 0.58) og P_{k_2}=(3.69, 0.02)}}}[/tex]

Bunnpunkter:
Ved å bruke symmetrien, finner vi:

[tex]\rm{P}_{\text{bunnpunkter}=\left(\frac{\arctan(2)+k\pi}{2},\; -e^{-x}\right)[/tex]

[tex]\underline{\underline{\text{P_{k_1}=(2.12, -0.12) og P_{k_3}=(5.27, -0.0051)}}}[/tex]

Her er jeg ikke 100% enig med fasit, men det kommer av avrundinger da jeg kalkulerte y-koordinatene. :]

[MatteNoob]

Her begynner avsnittet om integrasjon av trigonometriske funksjoner

Finn integralene

a)
[tex]\int \cos(2x)\rm{d}x = \frac 12 \cdot \sin(2x) + \rm{C}[/tex]

b)
[tex]\int 0.5\sin(3x)\rm{d}x = 0.5\int \sin(3x)\rm{d}x = 0.5\cdot (-\frac 13)\cos(3x) = -\frac 16\cos(3x) + \rm{C}[/tex]

c)
[tex]\int\left(117\sin(\pi x) -13\cos(\pi x)\right)\rm{d}x = 117\cdot \int\left(\sin(\pi x)\right)\rm{d}x - 13\cdot\int\left(\cos(\pi x)\right)\rm{d}x = \\ \, \\ 117\cdot (-\frac 1\pi)\cdot \cos(\pi x) - 13\cdot \frac 1\pi \sin(\pi x) = -\frac{117\cos(\pi x) + 13\sin(\pi x)}{\pi} + \rm{C}[/tex]

[MatteNoob]

Finn integralene

b)
[tex]\int(\cos^2 x)(\sin x)\rm{d}x[/tex]

Her vil vi bruke substitusjon og velger som følger:

[tex]u = \cos x \\ \, \\ du = -\sin x \, \rm{d}x[/tex]

[tex]-\int(u^2)\rm{d}u = -\frac 13u^3 + \rm{C}[/tex]

[tex]\int(\cos^2 x)(\sin x)\rm{d}x = -\frac 13\cos^3(x) + \rm{C}[/tex]

b)
[tex]\int\left(x\cdot \cos(x^2)\right)\rm{d}x \\ \, \\ u = x^2 \\ \, \\ du=2x\, \rm{d}x \\ \, \\ \, \\ \frac 12\int\cos(u)\rm{d}u = \frac 12\sin(u) + \rm{C} \\ \, \\ \int\left(x\cdot \cos(x^2)\right)\rm{d}x = \frac 12\sin(x^2)+\rm{C}[/tex]

c)
[tex]\int 3\left(\sin^4(2x)\right)\left(\cos(2x)\right)\rm{d}x = 3\cdot \int\left(\sin^4(2x)\right)\left(\cos(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = \sin(2x) \\ \, \\ du = 2\cos(2x)\, \rm{d}x[/tex]

[tex]3 \cdot \frac 12 \cdot \int \left(u^4\right)\rm{d}u = 3\cdot \frac 12 \cdot \frac 15 \cdot u^5= \frac{3}{10}u^5 +\rm{C}[/tex]

[tex]\int 3\left(\sin^4(2x)\right)\left(\cos(2x)\right)\rm{d}x = \frac{3\sin^5(2x)}{10} + \rm{C}[/tex]

d)
[tex]\int\left(x\cdot \sin(3x^2-1)\right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = 3x^2-1 \\ \, \\ du=6x\, \rm{d}x[/tex]

[tex]\int\left(x\cdot \sin(3x^2-1)\right)\rm{d}x = \frac 16 \cdot \int\left(\sin(u)\right)\rm{d}u = \frac 16 \cdot (-\cos(u)) = -\frac 16\cos(3x^2-1)+\rm{C} [/tex]

Dette var gøy!!!

[FredrikM]

d)
[tex]i(x) = \ln(\sin x) \\ \, \\ i\prime(x) = (\ln(\sin x))\prime \cdot (\sin x)\prime \\ \, \\ i\prime(x) = \frac {1}{\sin x} \cdot \cos x \\ \, \\ i\prime(x) = \frac{\cos x}{\sin x}[/tex]

Her ville det muligens vært penere å si at
[tex]i^,(x)=\frac{1}{tanx}[/tex]
Mener det er det matteboken min bruker. Men uansett, svaret er jo riktig.

Ang oppgave 6.48d:
Du laget en tråd og spurte om hvilket svar vi ville foretrekke. Selv ville jeg foretrukket det første, for da slipper vi brøk, men det er nå så. Og jeg ville faktorisert det ytterligere:
[tex]f^,(x)=4tan(2x)\cdot (1+tan^2(2x))[/tex]

Og i oppgav 6.35 d tror jeg du roter litt med innføringen. Svaret er nok rett, men plutselig skriver du pluss i stedet for gange. Og sistesvaret er ikke derivert lenger. Er ihvertfall noe rart der.

Ellers er du jo i følge mine øyne eksemplarisk i utførelsen.

[MatteNoob]

Tusen takk for alle tilbakemeldingene, Fredrik. Jeg visste ikke om [tex]\frac{1}{\tan x}[/tex] - Takk for tipset. Har også rettet feilen du nevnte.

Bruk delvis integrasjon til å finne de bestemte integralene:

a)
[tex]\int_0^\pi \left(x\cdot \sin x\right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = -\cos x\;\; u\prime = \sin x \\ \, \\ v\prime = 1 \;\;\;\;\;\, v = x[/tex]

[tex]\int_0^\pi \left(x\cdot \sin x\right)\rm{d}x =-x\cos(x)-\int_0^\pi \left(\cos(x)\right)\rm{d}x \\ \, \\ \int_0^\pi \left(x\cdot \sin x\right)\rm{d}x =-x\cos(x)-(-\sin(x)) = \left[\sin(x)-x\cos(x)\right]_0^\pi = F(\pi) - F(0) = \pi[/tex]

b)
[tex]\int_0^{\frac \pi 2}\left((x-1)\cos(2x)\right)\rm{d}x = \underline{ \int_0^{\frac \pi 2} \left( x\cos(2x) - \cos(2x)\right)\rm{d}x}[/tex]

[tex]\int_0^{\frac \pi 2} \left( x\cos(2x) - \cos(2x)\right)\rm{d}x=x\frac 12\sin(2x)-\left( \frac 12 \int_0^{\frac \pi 2}\left( \sin(2x)\right)\rm{d}x\right) - \int_0^{\frac\pi 2}(\cos(2x))\rm{d}x[/tex]

[tex]\int_0^{\frac \pi 2} \left( x\cos(2x) - \cos(2x)\right)\rm{d}x = \frac 12x\sin(2x) -\left(-\frac 14\cos(2x) \right) - \frac 12 \sin(2x)|_0^{\frac \pi 2}[/tex]

Rydder opp og regner ut:

[tex]\left[\frac{2x\sin(2x)+\cos(2x)-2\sin(2x)}{4}\right]_0^{\frac \pi 2} = F(\frac \pi 2) - F(0) = \frac{\left(-1\right) - \left(1\right)}{4} = \frac{-2}{4} = \underline{\underline{\; -\frac 12\;}}[/tex]

[MatteNoob]

Regn ut arealet som er avgrenset av:

a) [tex]y=x+\sin(2x)[/tex] x-aksen og linja x=3[symbol:pi]

b) grafen til [tex]y=x\sin(x^2)[/tex] der [tex]x\in\left[0,\, 2\right][/tex]

c) grafen til [tex]y=\sin x + \frac 12\cos(2x) + 1[/tex] y-aksen og x-aksen.

a)
[tex]\int_0^{3\pi}\left(x+\sin(2x)\right)\rm{d}x = \left[\frac{x^2 - \cos(2x)}{2}\right]_0^{3\pi} = \left(\frac{(3\pi)^2-\cos(2\cdot 3\pi)}{2}\right) - \left(\frac{-\cos(0)}{2}\right) = \frac{9\pi^2-1+1}{2} = \underline{\underline{\frac{9\pi^2}{2}}}[/tex]

b)
[tex]\int_0^{2}\left(x\cdot \sin(x^2)\right)\rm{d}x[/tex]

[tex]u = x^2 \\ \, \\ \rm{d}u = 2x\, \rm{d}x[/tex]

[tex]\frac 12 \int_0^{2}\left(2x\cdot \sin(x^2)\right)\rm{d}x = \frac 12 \int_0^4\left(\sin(u)\right)\rm{d}u = \left[-\frac 12\cos(x^2)\right]_0^2 = F(2) - F(0) = \\ \, \\ -\frac 12\cos(2^2) -(-\frac 12\cos(0^2)) = \underline{\underline{\frac{1-\cos(4)}{2}[/tex]

Fasiten er ikke enig med meg her, men jeg kan ikke se hvorfor det jeg har gjort skal være feil, gjør du?

c)
Grafen gjentar seg periodisk, jeg antar derfor at det er den første kryssingen mellom grafen og x-aksen som danner grensene til integralet.

For å finne denne, setter vi opp likningen:
[tex]\sin x + \frac 12\cos(2x) + 1 = 0 \\ \, \\ \sin x + \frac 12\left(1-2\sin^2 x \right) + 1 = 0 \\ \, \\ \sin x - \sin^2 x + \frac 32 = 0 \\ \, \\ 2\sin x - 2\sin^2 x + 3 = 0 \\ \, \\ \sin x = \frac{-2\pm\sqrt{(2)^2-4\cdot(-2)\cdot 3}}{2\cdot(-2)} \\ \, \\ \sin x = \frac{-2\pm\sqrt{28}}{-4} \\ \, \\ \sin x = \frac{-2\pm 2\sqrt{7}}{-4} \\ \, \\ \sin x \in \left[-1,\, 1\right] \\ \, \\ \sin x = -\frac{\sqrt 7 - 1}{2} \\ \, \\ x = - \arcsin\left(\frac{\sqrt 7-1}{2}\right) \;\;\vee\;\; \underline{x=\pi+\arcsin\left(\frac{\sqrt{7}-1}{2}\right)}[/tex]

Deretter løser jeg integralet:
For enkelhetsskyld, setter vi: [tex]G=\pi+\arcsin\left(\frac{\sqrt{7}-1}{2}\right)[/tex]
[tex]\int_0^{G}\left(\sin x + \frac 12\cos(2x) + 1\right)\rm{d}x = \int_0^G(\sin x)\rm{d}x + \frac 12 \int_0^G \cos(2x)\rm{d}x + \int_0^G 1\rm{d}x[/tex]

[tex]\int_0^{G}\left(\sin x + \frac 12\cos(2x) + 1\right)\rm{d}x = \left[-\cos(x)+\frac 14\sin(2x)+x\right]_0^G \approx \underline{\underline{5.91}}[/tex]

[MatteNoob]

Antall liter vann per minutt som renner inn i en tank, varierer med tiden på denne måten:

[tex]f(t) = 4\sin(0.12t)+11[/tex]

Her er t minutter tiden, of f(t) er antall liter per minutt. Finn hvor mye vann det er i tanken etter 1 time. Tanken var tom ved t=0

[tex]\int_0^{60}\left(4\sin(0.12t)+11\right)\rm{d}x = \left[\frac{33x -100\cos(0.12t)}{3}\right]_0^{60} = F(60)-F(0) = \\ \, \\ \left(\frac{33 \cdot 60 - 100\cos(0.12 \cdot 60)}{3}\right) - \left(-\frac{100\cos(0)}{3}\right) \approx \underline{\underline{673\, \rm{dm}^3}} [/tex]

[MatteNoob]

Grafen til:

[tex]y=e^{-x}\cdot \sin(2x) \;\;\; x\in\left[0,\, 2\right][/tex]

og x-aksen avgrenser et område over x-aksen. Regn ut arealet av dette området.

[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

Vi bruker delvis integrasjon og setter:
[tex]u\prime = e^{-x} \;\;\;\;\;\;\; u = -e^{-x} \\ \, \\ v\prime = 2\cos(2x) \;\;\; v = \sin(2x)[/tex]

1)[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) - \int_0^2\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

Vi bruker delvis integrasjon igjen, dermed;
[tex]u\prime = e^{-x} \;\;\;\;\;\;\; u = -e^{-x} \\ \, \\ v\prime = -4\sin(2x) \;\;\; v = 2\cos(2x)[/tex]

2)[tex]\int_0^2\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x = -2e^{-x}\cos(2x) -\left(-4\int_0^2\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x\right)[/tex]

Skriver om 2)
[tex]\int_0^2\left(e^{-x}2\cos(2x)\right)\rm{d}x = -2e^{-x}\cos(2x) +4\int_0^2\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

Vi setter 2 inn i 1:
[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) -\left(-2e^{-x}\cos(2x) +4\int_0^2\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x\right)[/tex]

Skriver om:
[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) +2e^{-x}\cos(2x) -4\int_0^2\left(e^{-x}\sin(2x)\right)\rm{d}x[/tex]

Vi ser at "det siste" integralet er likt det vi begynte med. Vi flytter over dette og får:
[tex]5\cdot \int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = -e^{-x}\cdot\sin(2x) +2e^{-x}\cos(2x)[/tex]

Deretter dividerer (eller ganger med 1/5) hele uttrykket med 5 og rydder opp. Da får vi:
[tex]\int_0^{2}\left(e^{-x}\cdot\sin(2x)\right)\rm{d}x = \frac 15\left( -e^{-x}\cdot\sin(2x) +2e^{-x}\cos(2x)\right)|_0^2 [/tex]

Eller:

[tex]\left[\frac 15\left(2\cos(2x)-\sin(2x)\right)e^{-x}\right]_0^2[/tex]

Men det er en fortegnsfeil her, så hvor trår jeg feil???