a) Finn egenverdiene og egenvektorene til matrisen
[tex]\begin{pmatrix}1.3& -0.2 \\ 0.1& 1\end{pmatrix}[/tex]
b) Skriv vektorene [tex]\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}[/tex] og [tex]\begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}[/tex] som linearkombinasjoner av basisvektorene
du fant i a).
c) Funksjonen f : R in R er gitt ved [tex]f(x)= \lambda x + k[/tex] der [tex]\lambda[/tex] og k er konstanter[tex]\lambda\neq 1[/tex]. Vis at når vi itererer f med startpunkt x0, så er [tex]x_n =\lambda^n(x_0 - \frac{k}{1-\lambda}) + \frac{k}{1-\lambda} [/tex]
d) Anta at [tex]\vec{r}_0=\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}[/tex] og at følgen [tex]{\vec{r}_n}[/tex] fremkommer ved iterasjonen [tex]\vec{r}_{n+1} = A\vec{r}_n + \vec{b}[/tex] der [tex]\vec{b} = \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}[/tex]. Finn [tex]\vec{r}_n[/tex]
Oppgaven a) og b) er ingen problem. Vi har:
egenverdiene med de passende egenvektorene:
[tex]\lambda_1 = 1.2\\v_1 = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\\ \lambda_2 = 1.1\\ v_2 = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}[/tex]
Og vi har:
[tex]\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} =& \frac{2}{3}\vec{v}_1 + \frac{4}{3} \vec{v}_2\\ \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} =& \frac{7}{3}\vec{v}_1 +\frac{5}{3} \vec{v}_2[/tex]
I oppgave c) får jeg noen problemer: Jeg kan se at det har noe med den geometriske rekken å gjøre, men jeg kan ikke finne en god begynnelse for å vise det.
I d) så ser jeg ideen, men også der kommer jeg ikke i gang...
Noen som kan gi meg en/to liten tips (ikke løs den for meg
)?