Differensial likning

[ArtVandelay]

y' + 3y = 6 .. Finn funksjonen y når y = 10 og x = 0

Min løsning:

y' = -3y +6

dy/dx = -3y + 6

dy = -3y + 6 dx

1/y dy = 3 dx

[symbol:integral] 1/y dy = [symbol:integral] 3 dx

ln|y| = 3x + C1

e^ln|y| = e^3x+C1

y = [symbol:plussminus] e^C1 * e^3x ,C = [symbol:plussminus]e^C1

y = Ce^3x

10 = Ce^3*0

10 = Ce^0

C = 10

gir y = 10e^3x

Noen som ser hva jeg har gjort feil? Riktig svar i følge fasit skal være
y = 8e^-3x + 2

[ettam]

y' = -3y +6

dy/dx = -3y + 6

dy = -3y + 6 dx

dy/(-3y+6) = 1 dx

(-1/3) dy/(y-3)) = 1 dx

(-1/3)ln|y-3| = x + C

...

[zell]

Feilen din er her:

dy = -3y + 6 dx

1/y dy = 3 dx

Det blir slik sånn som du har gjort:

[tex]\frac{\rm{d}y}{-3y} = \frac{6}{y}\rm{d}x[/tex]

Noe som ikke hjelper deg stort.

Her må du bruke noe som kalles integrerende faktor.

y' + 3y = 6

Denne kan skrives om til:

[tex]\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x} + P(x)y = Q(x)[/tex]

La A(x) være en antiderivert av P(x), integrende faktor:

[tex]e^{A(x)}[/tex]

Ganger uttrykket med integrerende faktor, får:

[tex]e^{A(x)}\frac{\rm{d}y}{\rm{d}x} + e^{A(x)}P(x)y = e^{A(x)}Q(x)[/tex]

Som du kan se, følger det av produktregel og kjerneregel at venstre side kan skrives om til:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{A(x)}y)[/tex] vi får:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{A(x)}y) = e^{A(x)}Q(x)[/tex]

Løses ved å antiderivere begge sidene. P(x) = 3

[tex]\int P(x)\rm{d}x = 3\int\rm{d}x = 3x + C[/tex]

Velger da A(x) = 3x som antiderivert av P(x). Integrerende faktor blir:

[tex]e^{A(x)} = e^{3x}[/tex]

Og vi får:

[tex]\frac{\rm{d}}{\rm{d}x}(e^{3x}y) = 6e^{3x}[/tex]

Vi antideriverer begge sider:

[tex]e^{3x}y = 6\int e^{3x}\rm{d}x[/tex]

[tex]e^{3x}y = 2e^{3x} + C[/tex]

[tex]y = 2 + \frac{C}{e^{3x}}[/tex]

[tex]10 = 2 + C \ \Rightarrow \ C = 8[/tex]

Som gir oss:

[tex]y = 2 + 8e^{-3x}[/tex]

EDIT: ettam sin metode er nok endel lettere.

[ettam]

zell: Enig at "min" metode er lettere.

Jeg har lært begge, og husker ikke hvilke av metodene som er pensum i VGS, dessverre. Jeg har en mistanke om at det er "min" metode.

Men, jeg må si at jeg foretrekker zells metode...

[ArtVandelay]

en dum brøkregningsfeil altså.. takk takk.. foretrekker den metoden til ettam jeg. Har ikke tid til å sette meg inn i altfor mye nytt akkurat nå =)