Diagonalisering

[Nukleon]

Jeg sitter og skal diagonalisere en matrise
[tex]\begin{pmatrix} 1 & 3 & 3 \\ -3 & -5 & -3 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex]

Jeg finner egenverdiene ved den karakteristiske ligningen

[tex]0 = det (A - \lambda I) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 4[/tex]
[tex]= -(\lambda - 1)(\lambda +2)^2[/tex]

Jeg har da at egenverdiene er 1 og -2

Så skal jeg finne egenvektorene, men husker ikke helt jeg skal komme frem til dem. I eksampler som står i boken går de direkte fra egenverdiene og danner egenvektorer.
Er det noen som kan forklare prosessen (og særlig hvordan man går fra egenverdier til egenvektorer)?

[Andrina]

Jeg fikk et annet karakteristisk polynom, nemlig (5+x)(x+2)(x-4)...

Men uansett, så er jo egenvektorene v bestemt av at Av=cv, der c er egenverdien.

Så dermed er (A-cI)v=0, og v ligger altså i kjernen til matrisa A-cI.

Det du må gjøre er altså å finne kjernen til A-cI for hver enkel egenverdi c.

[Nukleon]

edit: Jeg hadde ikke fått trykket inn en minus der i andre rekken.

I boken finner de basis for [tex] \lambda =1 [/tex] , [tex] V_{1} \small \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

[tex] \lambda =-2 [/tex] , [tex] V_{2} \small \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex] og [tex] V_{3} \small \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/tex]

Ser forøvrig ikke hvordan jeg finner disse vektorene

[Andrina]

For eksempel for lambda=1:

Finn B=A-I, så må du løse likningssystemet Bx=0 (for eksempel ved å bringe matrisa B på trappeform).

For å finne egenvektorer til lambda=-2, så må du løse likningssysstemet
(A+2I)x=0.

[Nukleon]

Takk!

Fikk det til med denne metoden. Det satt nok bare litt langt inne, men det hele var logisk når jeg først oppdaget dette.