Punkter i sirkel

[mrcreosote]

Vis at uansett åssen man velger n punkter i en disk (med rand) med radius 1 fins det et punkt i disken hvis sum av avstander til hvert av de n punktene er minst n.

[Knuta]

Nå er jeg ikke så flink i bevis, men hvis jeg har misforstått deg rett
Tegningen viser en sirkel med P1-P4 på randen og D1 og D2 som punkter på disken. D1 og D2 er speilvendte i forhold senter.

Dette viser meg at i dette tilfelle vil alle linjer er over 1. Hvis og bare hvis punktene P1 til P4 ligger på samme diameter som D1 og D2 vil summen av linjestykkene være nøyaktig 8. ellers vil den være høyere.

Konklusjonen er at finner du et punkt som har summen mindre enn n, hvil du finne speilpunktet som er større enn n.

Da har jeg et annet spørsmål. Hvis disken fylles med et uendelig antall punkter, hva vil den gjennomsnittelige avstanden bli til R?

[Magnus]

Du lurer? Det er vel bare å integrere avstanden fra origo til et punkt over hele disken.

[mrcreosote]

Er ikke sikker på om jeg følger deg, Knuta. Punktene P_i trenger ikke nødvendigvis ligge på randa, så hvis du bare hadde et punkt som sammenfalt med origo, ville avstanden til nåde D_1 og D_2 være mindre enn 1. Godt mulig det er jeg som er treig, men vil du utdype litt allikevel?

[Knuta]

Det er visst meg som er litt treg. Jeg misforsto litt da jeg trodde at du mente at P'ene skulle ligge på randen. Men etter å ha vridd litt på flisa og lagt dem på disken ser jeg at det blir litt snudd på hodet. Jeg kommer tilbake med "løsningen" når jeg kommer hjem i kveld.

[Tore Tangens]

Det "verste" scenariet vil være at man velger ett punkt (n=1) og plasserer det i sentrum. Største mulige avstand sentrum for et annet punkt vil da være = r = 1. Altså er kravet infritt i worst case scenario.
Øker n, vil det bare bli lettere og lettere å infri kravet.

Ikke helt fulstendig "bevis" akkurat, men dog.


[symbol:rot] alt ondt = 25,806975801127880315188420605149

[Charlatan]

Oppgaven var da å bevise at det finnes et punkt hvor summen av avstandene er minst n lengdeenheter. Ved å plassere punktet i sentrum vil dette i alle tilfeller hvor det finnes punkt som ikke ligger på randen gjøre at summen av avstandene blir mindre enn n.

[Tore Tangens]

Hmmm, ja. Tanken var at ved å plassere et punkt utenfor sentrum vil man kunne oppnå større avstand en n lengdeenheter. Derfor gir det å plassere ett punkt i sentrum det alternativet som gir en max avstand = 1 (hvor man må plassere punktet på randen som du sier for å oppnå dette). Altså medfører dette summen av avstandene >=1 (dvs minst 1)(Jeg er syk og har feber så jeg kan ikke lastes for eventuelle tussete tanker)