Trenger hjelp med denne også
Oggaven:
Finn volumet av legemet som fremkommer når funksjonen f(x)=e[sup]x[/sup] roterer 360 grader om x-aksen og xE[0,ln2]
volum - integrasjon
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Volum av omdreiningslegeme:
Tenk deg grafen til funksjonen i et koordinatsystem. Så tar du flaten mellom grafen og x-aksen og dreier rundt x-aksen. Da får du en rørlignende gjenstand.
Ettersom funksjonen er f(x)=e[sup]x[/sup] vil radius til dette legemet hele tiden være gitt som funksjonen e[sup]x[/sup]. Husk at funksjonen angir avstanden fra x-aksen til grafen.
Hvis du tenker at du tar en kniv og skjærer en tynn "brødskive" ut av legemet. Arealet av en sirkel er A=[pi][/pi]r[sup]2[/sup]. Altså må arealet av brødskiven du nettopp skar opp være gitt ved A=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup].
La dx representerer tykkelsen på skiven. Ettersom du skar skiven så tynn er dx så liten at arealet er det samme på begge sider av skiven. Da ser skiven ut som en sylinder. Volumet til en sylinder er gitt som V=Ah, hvor h er høyden til sylinderen. Volumet til skiven din er da V[sub]1[/sub]=Adx.
Nå har du funnet volumet av en brødskive, nå må du summere volumet av alle brødskivene. Dette gjøres ved å integrere Adx fra den ene enden til den andre.
Legemets volum er altså gitt ved
V=[itgl][/itgl]Adx
Men vi vet at A=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup], så vi setter dette inn i uttrykket.
V=[itgl][/itgl]=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup]dx
og setter konstanten [pi][/pi] utenfor. Får da den generelle formelen
V=[pi][/pi][itgl][/itgl](f(x))[sup]2[/sup]dx fra den ene enden til den andre.
Altså er volumet at det legemet du skal finne
V=[pi][/pi][itgl][/itgl](f(x))[sup]2[/sup]dx=[pi][/pi][itgl][/itgl](e[sup]x[/sup])[sup]2[/sup]dx=[pi][/pi][itgl][/itgl]e[sup]2x[/sup]dx=[([pi][/pi]/2)e[sup]2x[/sup]] fra 0 til ln(2)
Som er
V=([pi][/pi]/2)e[sup]2ln(2)[/sup]-([pi][/pi]/2)e[sup]2*0[/sup]=2[pi][/pi]-([pi][/pi]/2)=3[pi][/pi]/2
Tenk deg grafen til funksjonen i et koordinatsystem. Så tar du flaten mellom grafen og x-aksen og dreier rundt x-aksen. Da får du en rørlignende gjenstand.
Ettersom funksjonen er f(x)=e[sup]x[/sup] vil radius til dette legemet hele tiden være gitt som funksjonen e[sup]x[/sup]. Husk at funksjonen angir avstanden fra x-aksen til grafen.
Hvis du tenker at du tar en kniv og skjærer en tynn "brødskive" ut av legemet. Arealet av en sirkel er A=[pi][/pi]r[sup]2[/sup]. Altså må arealet av brødskiven du nettopp skar opp være gitt ved A=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup].
La dx representerer tykkelsen på skiven. Ettersom du skar skiven så tynn er dx så liten at arealet er det samme på begge sider av skiven. Da ser skiven ut som en sylinder. Volumet til en sylinder er gitt som V=Ah, hvor h er høyden til sylinderen. Volumet til skiven din er da V[sub]1[/sub]=Adx.
Nå har du funnet volumet av en brødskive, nå må du summere volumet av alle brødskivene. Dette gjøres ved å integrere Adx fra den ene enden til den andre.
Legemets volum er altså gitt ved
V=[itgl][/itgl]Adx
Men vi vet at A=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup], så vi setter dette inn i uttrykket.
V=[itgl][/itgl]=[pi][/pi](f(x))[sup]2[/sup]dx
og setter konstanten [pi][/pi] utenfor. Får da den generelle formelen
V=[pi][/pi][itgl][/itgl](f(x))[sup]2[/sup]dx fra den ene enden til den andre.
Altså er volumet at det legemet du skal finne
V=[pi][/pi][itgl][/itgl](f(x))[sup]2[/sup]dx=[pi][/pi][itgl][/itgl](e[sup]x[/sup])[sup]2[/sup]dx=[pi][/pi][itgl][/itgl]e[sup]2x[/sup]dx=[([pi][/pi]/2)e[sup]2x[/sup]] fra 0 til ln(2)
Som er
V=([pi][/pi]/2)e[sup]2ln(2)[/sup]-([pi][/pi]/2)e[sup]2*0[/sup]=2[pi][/pi]-([pi][/pi]/2)=3[pi][/pi]/2
Oppgaven var:zinln skrev:ln2
[itgl]e[sup]x[/sup][/itgl]
0
=e[sup]ln2[/sup]-e[sup]0[/sup]
=2
areal=2
Finn volumet av legemet som fremkommer når funksjonen f(x)=ex roterer 360 grader om x-aksen og xE[0,ln2]
Det anbefales ikke å blande sammen volum og areal...
