sin^2(x)

[Hansemann]

Hei. Noen som kan hjelpe meg med å integrere sin^2(x) og cos^2(x)?

Altså:

[symbol:integral] sin^2(x)

og

[symbol:integral] cos^2(x)



Tusen takk.

[Dinithion]

sin² x og cos² x kan skrives om til:

[tex]sin^2\, kx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cdot cos\, 2kx[/tex]

[tex]cos^2\, kx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot cos\, 2kx[/tex]

Da burde det være litt lettere å integrere.

[ettam]

Dette er to integraler som er løst mange ganger her på forumet.

Du løser disse ved å bruke trigonometriske identiteter:

[tex]sin^2 x = \frac12 - \frac12 cos 2x[/tex]

[tex]cos^2 x = \frac12 + \frac12 cos 2x[/tex]

___________________________________________________________________

EDIT: Ser noen kom før meg....

[Hansemann]

Ah. Tusen takk. Jeg så det var tatt opp tidligere, men jeg var ikke helt med de identitetene der

Jeg greide det faktisk til slutt, men da brukte jeg delvis:

[symbol:integral] sin^2(x) dx = [symbol:integral] sinx * sinx dx

-cosx * sinx - [symbol:integral] -cosx * cosx dx
=-cosx * sinx + [symbol:integral] cos^2(x) dx

[symbol:integral] sin^2(x) dx = -cosx * sinx + [symbol:integral] (1-sin^2(x) dx
[symbol:integral] sin^2(x) dx = -cosx * sinx - [symbol:integral]sin^2(x) dx + [symbol:integral] dx

2[symbol:integral]sin^2(x) dx = -cosx * sinx + x

[symbol:integral] sin^2(x) dx = -(1/2)cosx * sinx + (x/2)

[ettam]

Ok, se her:

[tex]\int sin^2 x dx = \int (\frac12 - \frac12 cos 2x) dx = \frac12 x - \frac12 \cdot \frac12 sin 2x + C = \underline{\underline{\frac12 x - \frac14 sin 2x + C}}[/tex]

Mitt svar er det samme som ditt fordi:

Siden [tex]sin 2x = 2 sin x cos x[/tex] , får vi:

[tex]\int sin^2 x dx = \underline{\underline{\frac12 x - \frac12 sin x cos x + C}}[/tex]

[Hansemann]

Ja, så det til slutt =) Tusen takk.