Hei, synes denne ulikheten var litt morsom:
Vis at:
[tex]\frac{a^3-c^3}{3}\geq abc(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a})[/tex]
der [tex]a\geq b \geq c [/tex] og er "nonzero" reelle tall.
Denne oppgaven er hentet fra http://www.georgmohr.dk/nmc.html (der du finner alle NMC oppgavene) og er en NMC 1988 oppg2.
NMC ulikhet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi vet at:
[tex]a^2 +b^2 \geq 2ab[/tex]
Dette gir at [tex]\frac{a^2 +ab + b^2}{3} \geq ab[/tex]
gange med [tex]a-b[/tex] (som ikke er negativt) gir:
[tex]\frac{a^3 -b^3}{3} \geq ab(a-b)[/tex]
Ved samme tankegang får vi:
[tex]\frac{b^2 +bc + c^2}{3} \geq bc[/tex] og
[tex]\frac{b^3-c^3}{3} \geq bc(b-c)[/tex]
Ved å addere de to ulikhetene får vi:
[tex]\frac{a^3 -b^3 +b^3 - c^3}{3} \geq ab(a-b) +bc(b-c)[/tex]
Som er ekvalient med:
[tex]\frac{a^3-c^3}{3} \geq abc(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a})[/tex]
som var ulikheten vi skulle bevise
stemmer det?
[tex]a^2 +b^2 \geq 2ab[/tex]
Dette gir at [tex]\frac{a^2 +ab + b^2}{3} \geq ab[/tex]
gange med [tex]a-b[/tex] (som ikke er negativt) gir:
[tex]\frac{a^3 -b^3}{3} \geq ab(a-b)[/tex]
Ved samme tankegang får vi:
[tex]\frac{b^2 +bc + c^2}{3} \geq bc[/tex] og
[tex]\frac{b^3-c^3}{3} \geq bc(b-c)[/tex]
Ved å addere de to ulikhetene får vi:
[tex]\frac{a^3 -b^3 +b^3 - c^3}{3} \geq ab(a-b) +bc(b-c)[/tex]
Som er ekvalient med:
[tex]\frac{a^3-c^3}{3} \geq abc(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a})[/tex]
som var ulikheten vi skulle bevise
stemmer det?
Sonkis løsning stemmer, men hvis du har notert beviset den andre veien, er det ikke gyldig etter matematisk konvensjon, Zivert.
Grunnen er denne. La oss si du skal bevise A. Sonki har gått fra B, som han vet stemmer, og vist at B -> A.
Hvis du skriver beviset andre veien, viser du at A -> B og at B stemmer, og trekker konklusjonen at A stemmer. Det er ikke et gyldig bevis.
Det som er spesielt her er at A <-> B, og du kan dermed snu beviset. Dette er derimot ikke alltid tilfelle.
Grunnen er denne. La oss si du skal bevise A. Sonki har gått fra B, som han vet stemmer, og vist at B -> A.
Hvis du skriver beviset andre veien, viser du at A -> B og at B stemmer, og trekker konklusjonen at A stemmer. Det er ikke et gyldig bevis.
Det som er spesielt her er at A <-> B, og du kan dermed snu beviset. Dette er derimot ikke alltid tilfelle.