Abstrakt algebra

[daofeishi]

La S være en menge med reelle tall som er lukket under multiplikasjon. La T og U være disjunkte undermengder av S hvis union er S. Gitt at produktet av tre (ikke nødvendigvis distinkte) elementer i T er i T, og produktet av tre (ikke nødvendigvis distinkte) elementer i U er i U, vis at minst én av T og U er lukket under multiplikasjon.

[Charlatan]

Vi har mengden [tex]S \subseteq R[/tex]. [tex]S[/tex] er lukket under multiplikasjon [tex]\Rightarrow[/tex] Hvis [tex]a,b \in S \Rightarrow a*b \in S[/tex].

Videre har vi mengdene [tex]T \subset S \ , \ U \subset S \ , \ T \cap U = \emptyset \ , \ T \cup U=S \Rightarrow U=\overline{T}[/tex]

Vi har tre villkårlige elementer i [tex]T[/tex], la oss kalle dem [tex]p,q[/tex] og [tex]r[/tex], slik at [tex](p*q)*r \in T[/tex], og tre villkårlige elementer i [tex]U[/tex], la oss kalle dem [tex]u,v og w[/tex], slik at [tex](u*v)*w \in U[/tex].

Vi bruker at et sett enten er lukket, eller ikke er lukket. Da får vi disse utfallsmulighetene:

[tex]p*q \in T \Rightarrow p*q=t \ : \ t \in T[/tex]. Da får vi at [tex](p*q)*r = t*r \in T[/tex].
Hvis dette er sant, er vi ferdige, da hvis [tex]T[/tex] er lukket, er minst ét av settene lukket. ... (1)

[tex]p*q \not \in T \Rightarrow p*q \in U \Rightarrow p*q=s \ : \ s \in U[/tex]. Da får vi at [tex](p*q)*r=s*r \in T[/tex].
Hvis dette er sant, så er ikke [tex]T[/tex] lukket, men et element fra [tex]U[/tex] multiplisert med et element fra [tex]T[/tex] gir et element i [tex]T[/tex]. ... (2)

[tex]u*v \in U \Rightarrow u*v=m \ : \ m \in U[/tex]. Da får vi at [tex](u*v)*w = m*w \in U[/tex]
Hvis dette er sant, er vi ferdige, da hvis [tex]U[/tex] er lukket, er minst ét av settene lukket ...(3)

[tex]u*v \not \in U \Rightarrow u*v=n \ : \ \in T[/tex]. Da får vi at [tex](u*v)*w=n*w \in T[/tex].
Hvis dette er sant, så er ikke [tex]U[/tex] lukket, men et element fra [tex]T[/tex] multiplisert med et element fra [tex]U[/tex] gir et element i [tex]T[/tex].... (4)

Anta at begge settene er lukkede, altså at (2) og (4) er sanne. La [tex]c \in U[/tex] og [tex]d \in T \Rightarrow c,d \in S[/tex]. Fra (2) har vi at [tex]c*d \in T[/tex]. Fra (4) har vi at [tex]d*c \in U[/tex]. Men siden multiplikasjon er kommutativt, er [tex]c*d=d*c \Rightarrow c*d,d*c \in (T \cap U)= \emptyset[/tex]. Nå bruker vi at [tex]S[/tex] er lukket, det betyr at [tex]c*d,d*c \in S[/tex]. Vi har oppnådd en kontradiksjon, ettersom [tex]S \not = \emptyset[/tex], og det motsatte må være sant, altså at enten (2) eller (4) er usanne. Det betyr at minst ét av settene er lukkede.
[tex]QED[/tex]

[Charlatan]

Jeg bruker at produktet av tre elementer a,b og c er (a*b)*c, og at a*b=b*a, men jeg regner med vi kan bruke at multiplikasjon er kommutativt og assosiativt.
Jeg tror man må anta at [tex]S[/tex] er en ikke-tom mengde.

Er dette abstrakt algebra?

[daofeishi]

Tja, funnet i en oppgavesamling for abstrakt algebra ihvertfall. Oppgaven er visstnok fra Putnam 1995. Jeg har skummet beviset ditt, og det ser rett ut. Jeg må se over det igjen når klokka ikke er godt over midnatt Fasitløsningen er slik:

Anta at verken T eller U er lukket. Da finnes det elementer [tex]t_1, \ t_2 \in T[/tex] og [tex]u_1, \ u_2 \in U[/tex] slik at [tex]t_1 t_2 \in U[/tex] og [tex]u_1 u_2 \in T[/tex].

Dette betyr at [tex](t_1 t_2) u_1 u_2[/tex] er et produkt av tre elementer i U, og altså at [tex]t_1 t_2 u_1 u_2 \in U[/tex]. Men det betyr også at [tex]t_1 t_2 (u_1 u_2)[/tex] er et produkt av tre elementer i T, og altså at [tex]t_1 t_2 u_1 u_2 \in T[/tex]. En motsigelse. Minst én av mengdene må altså være lukket.

[Charlatan]

jeg liker å gjøre det laangt