Harmonisk svingning, 3MX

[Dinithion]

I dette faget ga læreren vår ut ett ark han sa var en bedre fremgangsmåte på harmonisk svingning enn den formelen som står i regelboken. I grove trekk går den ut på at man skriver om til cosinus istedenfor sinus.

Formelen fra regelboken sier:

[symbol:funksjon] (x) = a Sin cx + b Cos cx +d = A Sin (cx + [symbol:tom] )

Og formelen han vil vi skal bruke er:

[symbol:funksjon] (x) = y0 + a Cos kx + b Sin kx = y0 + A Cos(kx - [symbol:tom] )

Hvor:
A = [symbol:rot] (a^2 + b^2)
og
tan [symbol:tom] = b / a

Dette skulle visstnok være det samme, og jeg får den til å fungere på oppgaver hvor det er positivt fortegn foran sinus. Men når det er negativt fortegn på sinus, så får jeg også feil fortegn senere i oppgaven, som fører til feil resultat.

Er det noen som skjønner hva jeg gjør feil? Skal jeg ha med fortegn fra den orginale funksjonen til den omgjorte på noe vis?

Edit, kan jo legge til oppgaven også:

[symbol:funksjon] (x) = -10Cos x-5Sin x
A= [symbol:rot] ((-10)^2+(-5)^2) [symbol:tilnaermet] 11,18
tan [symbol:tom] = -5 / -10 = 1/2
[symbol:tom] = tan^-1 (1/2) = 0,464
[symbol:funksjon] (x) = 11,18Cos(x - 0,464)

Med den orginale funksjonen får jeg ved x = 5 så blir [symbol:funksjon] (x) = 1,96
Mens med den omgjorte formelen, så blir svaret ved -1,96

[Karl_Erik]

Du må huske at vinkelen Ø skal ligge i samme kvadrant som punktet (a,b). (Formelen læreren din bruker ser ut til å være 'speilvendt', så blir kanskje (b,a). Gjør ingen forskjell i dette tilfellet, men vær litt obs på det.) Du kom fram til at tan Ø = 1/2, og at Ø derfor var omtrent 0,464. Men 0,464 ligger desverre ikke i samme kvadrant som punktet (-5, -10). Dog finnes det en annen vinkel som ligger i riktig kvadrant og som også har tangens lik 1/2. Kan du finne den tror jeg oppgaven din skulle gå helt fint.

Når det gjelder om framgangsmåten er bedre blir den vel på mange måter det samme. Hvis du helst vil gjøre det på regelbokens måte, men også sjekke om lærerens metode stemmer kan du jo faktisk bare huske at sin(x) = cos (x + ( [symbol:pi] / 2) ) og leke litt med det.

[Dinithion]

Ja, jeg var forsåvidt klar over det. Jeg trodde det var slik at man fikk en ny løsning ved +n[symbol:pi], slik at i dette tilfellet, så hadde jeg funnet den alternative vinkelen ved
0,464+[symbol:pi]
Oppgaven stemmer derimot om jeg bruker 0,464+2[symbol:pi].
Jeg trodde det var på sinus og cosinus vi fant den alternative vinkelen ved +n2[symbol:pi]. Tenker jeg feil her?

[cule]

når det gjelder harmoniske svingninger har dette også veldig mye med komplekse tall å gjøre. Men i 3mx lærer dere vel bare å se på dem i reelle tall.
For å vite om du skal legge til n[symbol:pi] er det viktig å tegne opp situasjonen. Bruke enhetssirkelen der du tegner inn punktet [a,b] og ser hvordan dette punktets vinkel samsvarer med vinkel [symbol:tom]. Da vil du kjapt se hva som må legges til for å få rett svar.

[Dinithion]

Vi har ikke komplekse tall, nei. Så her skal jeg bare prøve meg fram til jeg finner en som stemmer med punktet (a,b)? Jeg liker ihvertfall å tro at det finnes en metode som er bedre enn prøv-og-feil metoden ;P

[Dinithion]

Jeg bumper denne, fordi jeg har en ny oppgave om harmonisk svningning. Det jeg sliter med er fremdeles å finne [symbol:tom].

Oppgaven lyder slik:
[symbol:funksjon](x)= 8-2sin([symbol:pi]x/6) - 3cos([symbol:pi]x/6)

Jeg finner funksjonen:
[symbol:funksjon](x) = 8-3,6cos([symbol:pi]x/6 - [symbol:tom])

Da lærte vi at vi skulle finne [symbol:tom] ved å:
Metode 1, man har en utgangformel med coinus og sinus:
tan [symbol:top] = b/a

eller

Metode 2, man har x verdi til første toppunkt:
Sette inn x = (første t.p.), og løse likningen:
cos(kx - [symbol:tom]) = 1

Jeg brukte metode 1. Når jeg gjør dette, får jeg tan¯¹ (-3/-2) = 0.98
Dette punktet skal også ligge i 3. kvadrant, noe 0.98 gjør(?) (Den ligger i 1. og 3. kvadrant), men fasiten sier: 3.7. Uansett hvordan jeg vender og vrir, legger til [symbol:pi] rundt forbi og plusser og trekker fra, så får jeg ikke svaret mitt til å stemme overrens med fasiten.

Hvis det er noen som har noen tips her, tar jeg imot med åpne armer, gjerne begge metodene

[Dinithion]

Ok, jeg har funnet ut hvordan man skal løse problemet jeg sto overfor. Så i tilfelle det faktisk er noen der ute som bruker søkefunksjonen, så ligger ihvertfall svaret her:

Problemet har en ganske lett løsning. Dessverre for min del

For å bruke samme eksempel som over, så er formelen:

tan [symbol:tom] = b/a

I dette tilfellet er b = -2 og a = -3, dermed blir:
[symbol:tom] = tan¯¹ -2/-3 = 0.588

Dette skal også ligge i samme kvadrant som P(a,b), altså P(-3,-2). Dette ligger i 3. kvadrant. For å finne ut hvilken kvadrant 0.588 ligger i konverterer jeg til grader. (Det er sikkert ikke nødvendig med jeg synes det er mye lettere å se det da):
0.588 * 180/[symbol:pi] = 33,7 grader.

Som vi ser så ligger punktet i feil kvadrant. Da er phi vi skal fram til:
0.588 [symbol:plussminus] [symbol:pi]

Dette blir 0.588+[symbol:pi] = 3.73 som er riktig i henhold til fasiten. For å dobbel sjekke kan vi jo alltids regne om til grader:
3.73 * 180/[symbol:pi] = 213,7 grader. Dette er i tredje kvadrant.

Jeg skrev at man kunne bruke 0.588 pluss og minus [symbol:pi]. Så jeg kan jo bevise regelen:

0.588-[symbol:pi]=-2.55
-2.55*180/[symbol:pi] = -146.3 grader.
-146,3 + 360 = 213,7

Så enkelt var det. Håper dette kommer til nytte for noen da ;P