Asymptoter til eksponetialfunksjon

[Chaiti]

Hei!

Har følgende funksjon, og skal finne mulige asymptoter. Noen som kan hjelpe meg litt med det?

[tex]f(x)=(0,5e^x)^2-2e^x-2,5[/tex]

Såvidt jeg kan se har f(x) HA i y=-2,5 når x går mot - [symbol:uendelig]

Noen andre asymptoter kan jeg ikke se at f(x) har.

Noen tips? Setter stor pris på alle tilbakemeldinger

[Vektormannen]

Det er ikke noen andre asymptoter enn den horisontale som du fant. Det kan ut i fra grafen se ut som den legger seg mot en vertikal asymptote, men funksjonen er definert for alle reelle x-verdier, og da er det jo klart at vi kan sette inn f.eks. x = 1000, og fortsatt få en (veldig stor) funksjonsverdi. Altså legger den seg ikke mot en vertikal asymptote, den vokser bare veldig bratt.

[Chaiti]

Tusen takk Vektormannen for tilbakemeldingen og hjelpen
Jeg blir stadig imponert over dine mattekunnskaper. Morro med flinke folk

Er det noen måte å vise dette matematisk på, ved regning?
Det å finne H.A ved regning er forsåvidt greit, men hva med V.A og S.A.
Jeg skjønner ikke hvordan jeg kan vise dette ved regning.

Forslag noen?

Setter stor pris på alle innspill, og håper jeg en dag kan betale tilbake ved å hjelpe andre

[Vektormannen]

Generelt har vi en vertikal asymptote når funksjonen går mot pluss eller minus uendelig når x går mot et bestemt punkt, altså når [tex]\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty[/tex]. Da er [tex]x = a[/tex] den vertikale asymptoten.

Ta for eksempel funskjonen [tex]f(x) = \frac{1}{x}[/tex]. 0 er ikke med i definisjonsmengden, fordi å dele på 0 er en udefinert operasjon. Men når x nærmer seg 0 (fra både positiv og negativ side), vil vi få 1 delt på et veldig lite tall (lite som i nært 0). Brøken blir da et stort tall -- uendelig stort når x kommer uendelig nær 0. Altså er [tex]\lim_{|x| \to 0} f(x) = \infty[/tex], og da må [tex]x = 0[/tex] være vertikal asymptote.

Skrå asymptote finner du ved å utføre polynomdivisjon (det er sikkert andre tilnærminger også). Ta for eksempel [tex]f(x) = \frac{x^2 - 5}{x-2}[/tex]. Tegner du grafen, ser du at den har en skrå asymptote. Ved å utføre polynomdivisjonen kan vi skrive om funksjonsuttrykket:

[tex]\ \ (x^2 - 5) \ : \ (x - 2) = x + 2 - \frac{1}{x-2}[/tex]
[tex]\underline{-(x^2 - 2x)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ 2x - 5[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \underline{-(2x - 4)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -1[/tex]

Funksjonen kan altså skrives som [tex]f(x) = x + 2 - \frac{1}{x-2}[/tex]. For å finne likningen til den skrå asymptoten, trenger vi bare å se litt på dette uttrykket. Når |x| blir veldig stor, blir [tex]\frac{1}{x-2}[/tex] en svært liten brøk. Den blir ubetydelig liten etter hvert som funksjonen vokser, og vi står da igjen med x + 2. Altså er [tex]y = x + 2[/tex] likningen til den skrå asymptoten.

[Chaiti]

Takk igjen Vektomannen, men jeg må mase ennå litt mer

Det å overføre det du skrev til min spesifikke funksjon funker liksom ikke. Jeg kan ikke utføre polynomdivisjon, eller finne ut når funksjonen går mot uendelig (ved å finne nullpunkt til nevner)

Ved å studere uttrykket ser man jo at den vokser for alle positive verdier av x, men er det ingen måte å vise dette ved regning, slik som man kan gjøre med funksjoner av den typen du viste i siste inlegget ditt.

Jeg tror ikke mattelæreren min godtar at jeg kun skriver opp den asymptoten jeg fant.
Er det slik at jeg må forklare med tekst hvordan jeg har funnet svaret?

Nok en gang takk for all hjelp, og beklager at jeg maser litt

[Vektormannen]

Du må sikkert vise hvordan du fant den horisontale asymptoten. Jeg vet ikke helt hvordan det skal vises rent matematisk, men det er jo klart at i [tex]\lim_{x \to -\infty} ((\frac{1}{2}e^x)^2 - 2e^x - 2,5)[/tex] så vil begge leddene med [tex]e^x[/tex] bli forsvinnende små / nær 0 (fordi [tex]e^{-\infty} = \frac{1}{e^{\infty}} = 0[/tex]), og du står igjen med -2,5:

[tex]\lim_{x \to -\infty} \left((\frac{1}{2}e^x)^2 - 2e^x - 2,5\right) = 0^2 - 2\cdot 0 - 2,5 = -2,5[/tex]

Hvordan du skal vise at funksjonen bare vokser og vokser når [tex]x \to \infty[/tex], er jeg heller ikke sikker på, men også her er det jo klart, hvertfall når du faktoriserer til [tex]e^x(\frac{1}{4}e^x - 2) - 2,5[/tex], at den bare vokser med større verdier av x. Da vil jo 2 og -2,5 bli ubetydelig små tall:

[tex]\lim_{x \to \infty} \left((\frac{1}{2}e^x)^2 - 2e^x - 2,5\right) = \lim_{x \to \infty} \left(e^x(\frac{1}{4}e^x - 2) - 2,5\right) = \infty \cdot \infty - 2,5 = \infty[/tex]

Jeg er som sagt usikker på dette ...

Edit: står det ikke noe om dette i boka di forresten?

[Chaiti]

Det står ingen ting om dette i boka. Det står kun forklart slik som du forklarte først. Når jeg ikke kan polynomdividere skjønner jeg ikke hvordan jeg skal vise det ved utregning.

Jeg skal spørre læreren, og poste en oppdatering når jeg får svar:-)

Tusen takk for all hjelp skal du ha