Bestemt integral og antiderivasjon

[Wentworth]

Hvis du skal finne arealet når du får oppgitt [tex]f(x)=x^2-2x-3[/tex] ved regning,skal du da sette funksjonen i integralranden og regne ut integralet også sette i største grenseverdi og laveste grenseverdi?

Setter prid på svar.

[Vektormannen]

Dersom området du skal finne arealet av bare er over x-aksen har du jo at [tex]A = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)[/tex] der F er den antideriverte av f. Dersom området befinner seg under x-aksen er det tallverdien/absoluttverdien av det ubestemte integralet som er arealet. Dersom området er dels under og dels over x-aksen må du dele det opp i flere "biter" og summere sammen arealene.

[Vektormannen]

Hvorfor sletta du innlegget?

[Wentworth]

Takk for hjelpen.

Nå skal jeg prøve på en annen oppgave som jeg har funnet løsningen på slik ;

[tex]f(x)={\frac{2}{x}}[/tex] Der [tex]a=-2 [/tex] og [tex]b=-1[/tex]

Da setter vi slik for å finne arealet av det området som er avgrenset av grafen til f, x-aksen,linja x=a og linja x=b ;

[tex]\int {\frac{2}{x}}dx=\int {2 \cdot {\frac{1}{x}}dx=(2 \cdot ln |1|)-(2 \cdot ln|2|)=2ln2=ln4[/tex]

Legg merke til at a= -2 og b= -1 som er det området som avgrenser linja på x-aksen og grafen f. Siden absoluttverdien sier at den er |x|=x når x er positiv og |x|=x når x er negativ. Dermed kan jeg sette disse to verdiene som |1| og |2| i pluss altså .Har jeg forstått det rikitg?

[Vektormannen]

Det er nesten helt korrekt det. I de siste to likhetene der skal det være [tex]- 2\ln 2 = -\ln 4[/tex]. Men i selve svaret er det selvsagt absoluttverdien som er interessant, siden oppgaven spør etter arealet.

(Og du skreiv at |x| = x om x er negativ, men da er |x| = -x. Kanskje det var en skrivefeil)

Edit: du må også huske å ha med grensene. [tex]\int \frac{2}{x} dx[/tex] betyr ikke det samme som [tex]\int_{-2}^{-1} \frac{2}{x} dx[/tex].

[Wentworth]

Ja slurvefeil der.

Så dette betyr at hvis x=-1, -2, -3, i denne sammenhengen

så blir det ;

|x| =|1|,|2|,|3| .For absoluttverdien tells som pluss.

Og du skriver [tex]-2ln2[/tex] siden areal ikke kan være negativ blir svaret [tex]2ln2[/tex] Takker...

[Vektormannen]

Stemmer det, du må ha med fortegnet når du skriver likhetstegn mellom, ellers er det jo ikke en likhet ([tex]-\ln 4 \neq \ln 4[/tex]), men i selve svaret tar du den positive verdien / absoluttverdien.

Når det gjelder absoluttverdier så er det den positive verdien av et tall, definert slik at |x| = x for x > 0 og |x| = -x for x < 0. Da blir |3| = 3, |-3| = -(-3) = 3, osv.

En alternativ definisjon på |x| er [tex]|x| = \sqrt{x^2}[/tex].

[Wentworth]

Det alternative definisjonen [tex]\sqrt{x^2}[/tex] forteller meg at det er av 10.

[Vektormannen]

Hva for noe?

[Wentworth]

Vennligst utdyp definisjonen din.

[Vektormannen]

Det er ikke min definisjon. Man benytter av og til at [tex]|x|[/tex] er det samme som [tex]\sqrt{x^2}[/tex], der x er hvilket som helst tall. [tex]|-3|[/tex] blir da [tex]\sqrt{(-3)^2} = 3[/tex]. Men dette er strengt tatt ikke helt relevant i denne tråden da

[Wentworth]

Det var mer utfyllende svar. Takk for hjelpen