Bestemt integral som grense for sum

[Wentworth]

Ja for [tex]n [/tex] er en felles faktor ?

[Vektormannen]

Jada.

[Wentworth]

[tex]\int -{\frac{1}{4}}x^2+3={\frac{1}{2}} \cdot -{\frac{1}{4}}x^3+3x=-{\frac{1}{8}}x^3+3x[/tex] Riktig integrert?

[Vektormannen]

Du glemte C. For å sjekke om du har integrert rett, deriverer du.

[tex](-\frac{1}{8}x^3 + 3x)^\prime = -\frac{3}{8}x^2 + 3[/tex].

Hva sier det deg?

[Wentworth]

At den er feil.Prøv du da.?

[Markonan]

Det er ikke noe hensikt i at han prøver - og klarer det.
Mye bedre om du integrerer helt til du klarer det.
Det er slik man lærer!

Om du har funnet riktig svar sjekkes enkelt ved å derivere det du fikk.

[Wentworth]

[tex]\int -{\frac{1}{4}x^2}+3dx={-\frac{1}{4}} \cdot {\frac{1}{3}x^3+3x+C={-\frac{1}{12}} x^3+3x+C[/tex]

Er det dette svaret jeg skal bruke som [tex]f(x)[/tex] se på de første innleggene.


Altså [tex]s_8={-\frac{1}{12}}x^3+3x \cdot \Delta x [/tex] osv.. ? Og for x setter jeg de x -verdiene der rektanglene begynner.Rikitg?

[Vektormannen]

Nei. Da skulle du jo integrert [tex]x^2[/tex] i sted også da. Men nei, det skal du ikke. Hvis du har skjønt prinsippet bak tilnærmingsmetoden for integraler, bør du ikke tenke på å integrere funksjonen i det hele tatt.

[tex]f(x_n)[/tex] gir deg høyden til rektangelet som har det ene hjørnet sitt i punktet [tex]x_n[/tex] på x-aksen. Når du ganger denne høyden med [tex]\Delta x[/tex], som er lengden til rektangelet, får du arealet av rektangelet. Når du gjør dette for hvert rektangel i intervallet og legger sammen, får du tilnærminsverdien til integralet (et integral er jo arealet under kurven!). Det blir jo absurd å integrere funksjonen som gir deg høyden -- da vil du jo ikke få høyden fra x-aksen og opp til et punkt på kurven til funksjonen, men høyden fra x-aksen og opp til punktet på kurven til den integrerte funksjonen (heter det det?)!

[Wentworth]

[tex]\Delta x[/tex] Det er bredden til rektangel.


[tex]\int_{\small-2}^{\small2}-\frac{1}{4}x^2 + 3\;\text{dx}[/tex]

Hvis jeg skal finne tilnærmingsverdien ved regning for dette integralet,hva gjør jeg da?

[Wentworth]

Integralet er
[tex]\int_{\small-2}^{\small2}-\frac{1}{4}x^2 + 3\;\text{dx}[/tex]

Tilnærmingen er
[tex]S_n = f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x + \dots + f(x_n)\Delta x[/tex]

Ikke sant?
(Det er forresten stor delta, og ikke trekant!)

Hvordan finner jeg [tex]f(x)[/tex] ?

[Vektormannen]

f(x) er funksjonen du skal finne tilnærmingen til det bestemte integralet av, det vil si det uttrykket bak integraltegnet.

[tex]f(x) = - \frac{1}{4}x^2 + 3[/tex]

[Wentworth]

Da blir vel ;

[tex]S_n=f({-\frac{1}{4}}x^2+3) \cdot \Delta x[/tex] osv...?

[Vektormannen]

Stemmer det ja.

[Wentworth]

Fellesfaktor her også mener jeg...right?

[Vektormannen]

Ja, [tex]\Delta x[/tex] går igjen i alle ledd.