3MX Integrasjongrenser

[Mab]

Jeg sliter litt med å skjønne læreboka her, så jeg lurte på om noen kan gi meg en dummies-versjon...

Eksempelet er integralet [tex]\smallint _1 ^2 (3x^2 - 2) \cdot 6x dx\[/tex].

Tror jeg henger sånn rimelig greit med her [tex]u(x) = 3x^2 - 2 \Rightarrow u(x) = \frac{{du}}{{dx}} = 6x \Rightarrow dx = \frac{1}{{6x}}du\[/tex]

Men hva er detegentlig som skjer her? Hvor kommer [tex]\ = \frac{1}{2}u^2 + C\[/tex] fra?

[tex]\smallint (3x^2 - 2) \cdot 6x dx = \smallint u \cdot 6x \cdot \frac{1}{{6x}} du = \smallint u du\[/tex]
[tex]\ = \frac{1}{2}u^2 + C\[/tex]
[tex]\ = \frac{1}{2}(3x^2 - 2)^2 + C\[/tex]

[Vektormannen]

Prøv å derivere [tex]\frac{1}{2}u^2 + C[/tex] med hensyn på u, så ser du det kanskje?

[Mab]

Hehe, veldig fint og pedagogisk, men, nei, jeg gjør desverre ikke det. Jeg trenger det med teskje.

[Vektormannen]

I utregningen du sier du henger med på, kommer de frem til at [tex]dx = \frac{1}{6x}du[/tex]. De bytter derfor [tex]dx[/tex] ut med dette i integralet:

[tex]\int (3x^2-2)\cdot 6x dx = \int u\cdot 6x\cdot \frac{1}{6x}du = \int u du[/tex]

Når vi skal integrere u er vi jo ute etter et uttrykk som, når det deriveres, gir u. Vi har integrasjonsregler for sånt, men det er ikke så vanskelig å tenke seg til at det må bli [tex]\frac{1}{2}u^2 + C[/tex]. Vi kontrollsjekker ved å derivere uttrykket: [tex](\frac{1}{2}u^2 + C)^\prime = \frac{1}{2}\cdot 2 u^{2-1} + 0 = u[/tex]. Det stemmer altså. Det siste de gjør i eksempelet er å bytte ut u med det u egentlig står for (u er jo bare et hjelpemiddel for at det skal bli ryddigere å gjøre slike mellomrekninger).