Vendetangent

[akamond]

Kan noen hjelpe meg med å finne vendetangenten til:

a) F(x)=(x)^3-6x
B)F(x)=(x)^4-(4x)^2

Noen som kunne hjulpet meg meg med når disse funksjonen vokser raskest og hvor raskt den vokser?

[ettam]

Hva har du fått til selv da?

Eller hvordan tror du dette skal løses?

[akamond]

Jeg forstår veldig lite. Jeg har sett her http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?p=37544 og skjønnte litt mer, men forstår det ikke helt.
Så hadde vært veldig fint om du ettam eller noen andre kunne prøvd å løst oppgavene. Skal sette meg ordentlig inn i det og studere.

Trenger virkelig å få løst dem.

[Vektormannen]

Begynn med å dobbelderivere funksjonene, så tar vi det videre derfra.

[akamond]

Det klarer jeg fint. Har gjort mange oppgaver men er de to som jeg synes er vanskelig. Spesielt når jeg skal sette inn i ettpunktsformelen.

f"(x)=6x^2
f"(x)=12^2x-8

[Vektormannen]

Den første har du derivert feil:

[tex]f(x) = x^3 - 6x[/tex]
[tex]f^\prime(x) = 3x^2 - 6[/tex]
[tex]f^{\prime \prime}(x) = 6x[/tex]

På den andre er jeg i tvil om hva du mener når du skriver funksjonsuttrykket. Har du satt parantes feil, slik at du egentlig mener [tex]4x^2[/tex], eller mener du faktisk [tex](4x)^2[/tex] som blir [tex]16x^2[/tex]? Ut fra hvordan du har derivert ser det ut som du mener den første. Men uansett hvordan jeg tolker det ser det ut som du har derivert feil her også.

[akamond]

Den første har du derivert feil:

[tex]f(x) = x^3 - 6x[/tex]
[tex]f^\prime(x) = 3x^2 - 6[/tex]
[tex]f^{\prime \prime}(x) = 6x[/tex]

På den andre er jeg i tvil om hva du mener når du skriver funksjonsuttrykket. Har du satt parantes feil, slik at du egentlig mener [tex]4x^2[/tex], eller mener du faktisk [tex](4x)^2[/tex] som blir [tex]16x^2[/tex]? Ut fra hvordan du har derivert ser det ut som du mener den første. Men uansett hvordan jeg tolker det ser det ut som du har derivert feil her også.

Selvfølgelig. GIkk litt fort her. Mener selvfølgelig 6x.
Men mener også at f(x)=x^4-4x^2 er f"(x)=12x^2-8


Men kan noen hjelpe meg med vendetangent på de to funksjonene?

[Vektormannen]

Ah, da har du derivert den andre der korrekt ja

Når du skal finne vendetangent skal du finne den tangenten som er brattest på grafen (kan være flere). Første steget er å finne vendepunkt(ene). Vendepunktene er de stedene der den deriverte har et topp- eller bunnpunkt, altså der den er på sine største eller minste verdier (opphavsfunksjonen vokser da raskest eller minker raskest). Stedene hvor dette er tilfellet, finner du ved å sette den dobbeltderiverte lik 0. Da finner du x-koordinatet. For å finne likningen til vendetangenten går du ut i fra likningen for en rett linje gjennom ett punkt (ettpunktsformelen):

[tex]y - y_0 = a(x-x_0)[/tex]

Der [tex]a[/tex] er stigningstallet og [tex](x_0, y_0)[/tex] er tangeringspunktet. Som vi vet er det [tex]f^\prime(x)[/tex] som uttrykker stigningstallet for et gitt punkt på grafen. x-koordinatet til tangeringspunktet, [tex]x_0[/tex], er vendepunktet du fant. For å finne det tilhørende y-koordinatet, [tex]y_0[/tex], setter du [tex]x_0[/tex] inn i [tex]f(x)[/tex].

[akamond]

Ah, da har du derivert den andre der korrekt ja

Når du skal finne vendetangent skal du finne den tangenten som er brattest på grafen (kan være flere). Første steget er å finne vendepunkt(ene). Vendepunktene er de stedene der den deriverte har et topp- eller bunnpunkt, altså der den er på sine største eller minste verdier (opphavsfunksjonen vokser da raskest eller minker raskest). Stedene hvor dette er tilfellet, finner du ved å sette den dobbeltderiverte lik 0. Da finner du x-koordinatet. For å finne likningen til vendetangenten går du ut i fra likningen for en rett linje gjennom ett punkt (ettpunktsformelen):

[tex]y - y_0 = a(x-x_0)[/tex]

Der [tex]a[/tex] er stigningstallet og [tex](x_0, y_0)[/tex] er tangeringspunktet. Som vi vet er det [tex]f^\prime(x)[/tex] som uttrykker stigningstallet for et gitt punkt på grafen. x-koordinatet til tangeringspunktet, [tex]x_0[/tex], er vendepunktet du fant. For å finne det tilhørende y-koordinatet, [tex]y_0[/tex], setter du [tex]x_0[/tex] inn i [tex]f(x)[/tex].

Takk, takk. Nå begynner jeg og forstå dette. Har funnet ut at vendepunktene for funksjonene er.

Første funksjon er vendepunktet (0,0) i origo.
For andre funskjonen er vendepunktene (0.82, -2.19) og (-1.82, og -2.19).

[Vektormannen]

Ser ut til å stemme det ja. For å finne vendetangentene er det bare å finne stigningstallene i de to punktene (sette x-verdien inn i den deriverte), og så sette inn i ettpunktsformelen.

[akamond]

Da har jeg funnet ut at vendetangentene er.
Funksjon 1: Y=-6x
Funskjon 2: Y=4.3x-3.526

Er veldig usikker om dette er riktig? Har jeg forstått det riktig?

[Vektormannen]

Funksjon 1, helt rett. Nr. 2 skal ha to vendetangenter.

Edit: den ene vendetangenten du har funnet er også feil. Vær nøyen når du setter tallene inn i ettpunktsformelen.

Det ideelle her hadde kanskje vært å skrive tallene eksakt (altså vendepunktene som [tex]\pm \frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}[/tex], men det kan muligens bli rotete når man setter inn i den deriverte.

[akamond]

Er svaret på funskjon 2: Y=-4.3x-1.336?

[akamond]

Fint om noen kunne lagd et løsningsforslag for hvordan jeg skal finne ut: Hvor vokser funskjonen raskest og hvor fort vokser funksjonen da?

Det er siste oppgaven jeg har igjen i dag. Er skikkelig lei matte nå.

[Vektormannen]

Svarene skal bli (ca.)

[tex]y_1 = -4.3x+1.288[/tex]

[tex]y_2 = 4.3x+1.288[/tex]

En god kontrollmulighet du alltid har, er å tegne opp grafisk. Da kan du se om du f.eks. har rett stigningstall, etc.

Edit. Spørsmålene:
Der funksjonen vokser raskest er jo der den deriverte er på sitt største. Du må altså finne hvor [tex]f^{\prime \prime}(x) = 0[/tex] og er positiv før og negativ etter. Det finner du ved å tegne den inn i et fortegnsskjema. For å finne hva vekstfarten er da, setter du punktet du fant inn i den deriverte.