Integrasjon og volum

[Krisse]

Dette er sikkert ikke vanskelig engang, men det er altfor lenge siden jeg har hatt det, så jeg står fast:

1. En gjenstand i rommet er plassert i et koordinatsystem slik at snittflaten med førstekoordinat x har arealet A(x) = 2x [symbol:rot] x, der x er mellom 1 og 4. Finn volum av gjenstanden.

2. Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi får når det flatestykket som er avgrenset av grafen til funksjonen f(x) = -x[sup]2[/sup]+1 og x-aksen, dreies 360 grader om x-aksen.

[Olorin]

På den første mener du arealet kanskje? da er det bare å integrere A(x) fra x=1 til x=4

På nr 2 må du nok se litt i boka di, i formelsamlinga er det også en generell formel for volum av omdreiningslegeme når det dreies om x/y-aksen.

[tex]V=\pi\int_{-1}^1 (f(x))^2\rm{d}x[/tex]

[Krisse]

Niks, jeg mener volumet, med formelen for bestemt integral, men jeg klarer likevel ikke regne den ut. Og når det kommer til den andre, så har jeg prøvd å bruke den formelen, men det går ikke. Jeg forvirres av at hele saken er opphøyd i annen, og da blir alt bare surr.

[Olorin]

på 1) blir det rett og slett [tex]\int_1^42x\sqr{x}\rm{d}x[/tex]
Et tips for å løse dette integralet er å bruke potensregler og forenkle integranden.

på 2) kan du gange ut parentesen, da burde det gå greit?

[Krisse]

Men det går ikke :S Altså, på den første skal svaret være 124/5, og den andre skal være 16pi /15, men samma hvordan jeg regner det ut (både med regler som faktisk finnes og mine tvilsomme egne) får jeg feil svar.

[Olorin]

Hehe.. Jeg får de svarene du refererer til, se på tipset mitt angående det første integralet, se om du får rett svar da!

Hvilke grenser bruker du på oppgave 2?

[Krisse]

Ååee, kompliserte saker! På den første har jeg brukt formelen for delvis integrasjon, altså u'*v dx = u*v - f(u*v')dx (der f er integrasjonstegnet), og satt 2x som v og [symbol:rot] x som u', men det går fremdeles ikke. Gah!

Og på den siste har jeg grensene til -1 og 1, eller, det var hvertfall det kalkulatoren sa.

[zell]

Du er klar over at [tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}[/tex] ?

Følgelig blir:

[tex]\int 2x\sqrt{x}\rm{d}x = \int 2x \ \cdot \ x^{\frac{1}{2}}\rm{d}x = \int 2x^{\frac{3}{2}}\rm{d}x[/tex]

[Krisse]

Jeg er nå egentlig det, men å regne med det klarte jeg ikke før du minnet meg på fremgangsmåten Men takk, da er den første oppgaven i boks!

[Olorin]

[tex](1-x^2)^2=(1-x^2)(1-x^2)=1-x^2-x^2+x^4=1-2x^2+x^4[/tex]

[tex]\pi\int_{-1}^1 1-2x^2+x^4\rm{d}x[/tex]

Da burde den siste gå greit?