[symbol:integral] (x^2 + 1) / x^2 dx
[symbol:integral] x / [symbol:rot] (x^2 + 1) dx
Lim v --> 0 ((1+3v)/(1+2v))^(1/v)
unnskyld hvis det ble litt rotete.. håper noen kan hjelpe meg
integrasjon og grenseverdi :oops:
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
jeg har fått i hjemmeregning å løse noen oppgaver, men jeg klarer ikke alle
[symbol:integral] (x^2 + 1) / x^2 dx
[symbol:integral] x / [symbol:rot] (x^2 + 1) dx
Lim v --> 0 ((1+3v)/(1+2v))^(1/v)
unnskyld hvis det ble litt rotete.. håper noen kan hjelpe meg
[symbol:integral] (x^2 + 1) / x^2 dx
[symbol:integral] x / [symbol:rot] (x^2 + 1) dx
Lim v --> 0 ((1+3v)/(1+2v))^(1/v)
unnskyld hvis det ble litt rotete.. håper noen kan hjelpe meg
1:
[tex]\int \frac{x^2+1}{x^2}\rm{d}x[/tex]
Her kan du dele opp brøken, og du får: [tex]\int \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}\rm{d}x = \int \rm{d}x + \int x^{-2}\rm{d}x[/tex]
Som jo burde være overkommelig.
2: Substitusjon, sett u = x^2 + 1 , du/dx = 2x.
3:
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex]
Potensen vil gå mot uendelig, men hva vil brøken gå mot? Og hva er i tilfelle [tex]1^{\infty}[/tex] ?
[tex]\int \frac{x^2+1}{x^2}\rm{d}x[/tex]
Her kan du dele opp brøken, og du får: [tex]\int \frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}\rm{d}x = \int \rm{d}x + \int x^{-2}\rm{d}x[/tex]
Som jo burde være overkommelig.
2: Substitusjon, sett u = x^2 + 1 , du/dx = 2x.
3:
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex]
Potensen vil gå mot uendelig, men hva vil brøken gå mot? Og hva er i tilfelle [tex]1^{\infty}[/tex] ?
Ta en titt på grafen til [tex]y=\frac{1}{x}[/tex].
Hva observerer du ved grafen når x nærmer seg 0?
Angående oppgaven: Selv om grunntallet går mot 1 og eksponenten går mot uendelig er det ikke alltid at uttrykket går mot 1. Tenk på definisjonen av konstanten e for eksempel. [tex]e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}[/tex] Her ser vi at grunntallet klart går mot 1, men uttrykket er ikke lik 1.
[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}=\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}[/tex]
La [tex]\frac{v}{1+2v}=k \Rightarrow v=\frac{k}{1-2k}[/tex].
Vi ser at når [tex]v \to 0 \Rightarrow \frac{k}{1-2k} \to 0 \Rightarrow k \to 0[/tex]
Vi setter dette inn i uttrykket over og vi får:
[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} = \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{(\frac{1}{k}-2)} = e \cdot \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{-2} = e[/tex]
Forsår du hva som skjedde i de siste trinnene? Se på definisjonen av e så ser du sammenhengen.
Hva observerer du ved grafen når x nærmer seg 0?
Angående oppgaven: Selv om grunntallet går mot 1 og eksponenten går mot uendelig er det ikke alltid at uttrykket går mot 1. Tenk på definisjonen av konstanten e for eksempel. [tex]e=\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}[/tex] Her ser vi at grunntallet klart går mot 1, men uttrykket er ikke lik 1.
[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}=\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}[/tex]
La [tex]\frac{v}{1+2v}=k \Rightarrow v=\frac{k}{1-2k}[/tex].
Vi ser at når [tex]v \to 0 \Rightarrow \frac{k}{1-2k} \to 0 \Rightarrow k \to 0[/tex]
Vi setter dette inn i uttrykket over og vi får:
[tex]\lim_{v \to 0} \large\left(1+\frac{v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} = \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{(\frac{1}{k}-2)} = e \cdot \lim_{k \to 0} \large\left(1+k\large\right)^{-2} = e[/tex]
Forsår du hva som skjedde i de siste trinnene? Se på definisjonen av e så ser du sammenhengen.
Det han prøver å si er at [tex]1^{\infty}[/tex] egentlig sier deg fint lite. For å finne verdien uttrykket ditt går mot må du benytte deg av naturlige logaritmer.
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} \ \rightarrow \ 1^{\infty}[/tex], dette svaret er tvetydig.
Som kjent har vi: [tex]\ln{a^p} = p\ln{a}[/tex]
Denne logaritmeregelen kan anvendes på grenseverdien:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{1}{v} \ \cdot \ \ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)} = \lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)}}{v}[/tex]
Når v går mot 0, får vi et såkalt "0/0"-uttrykk. Da kan L'Hôpitals regel anvendes. Den sier at når vi har et "0/0" eller "uendelig/uendelig" osv., så kan vi derivere teller og nevner for seg:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1+2v}{1+3v} \ \cdot \ \frac{3(1+2v) - (1+3v)2}{(1+2v)^2}}{1} = \frac{1}{1} \ \cdot \ \frac{3-2}{1^2} = 1 [/tex]
Hvis vi sier at: [tex]f(v) = \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex] Så har vi at:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \ln{f(v)} = 1 \ \Rightarrow \ e^{\ln{f(v)}} = e^1[/tex]
Altså har vi at:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} f(v) = e[/tex]
[tex]\lim_{v \rightarrow 0} \ \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}} \ \rightarrow \ 1^{\infty}[/tex], dette svaret er tvetydig.
Som kjent har vi: [tex]\ln{a^p} = p\ln{a}[/tex]
Denne logaritmeregelen kan anvendes på grenseverdien:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{1}{v} \ \cdot \ \ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)} = \lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\ln{\large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)}}{v}[/tex]
Når v går mot 0, får vi et såkalt "0/0"-uttrykk. Da kan L'Hôpitals regel anvendes. Den sier at når vi har et "0/0" eller "uendelig/uendelig" osv., så kan vi derivere teller og nevner for seg:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \frac{\frac{1+2v}{1+3v} \ \cdot \ \frac{3(1+2v) - (1+3v)2}{(1+2v)^2}}{1} = \frac{1}{1} \ \cdot \ \frac{3-2}{1^2} = 1 [/tex]
Hvis vi sier at: [tex]f(v) = \large\left(\frac{1+3v}{1+2v}\large\right)^{\frac{1}{v}}[/tex] Så har vi at:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} \ \ln{f(v)} = 1 \ \Rightarrow \ e^{\ln{f(v)}} = e^1[/tex]
Altså har vi at:
[tex]\lim_{v\rightarrow 0} f(v) = e[/tex]
